2023年高考（普通高等学校招生全国统一考试）全国甲卷数学(理)真题（含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 理科数学 一、选择题 1. 设集合 ， U 为整数集， （ ） A. B. C D. 2. 若复数 ，则 （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2 3. 执行下面的程序框遇，输出的 （ ） A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 4. 向量 ，且 ，则 （ ） A B. C. D. 5. 已知正项等比数列 中， 为 前 n 项和， ，则 （ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 30 6. 有 60 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0 .8 B. 0 .4 C. 0 .2 D. 0 .1 7. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 8. 已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于 A ， B 两点，则 （ ） A. B. C. D. 9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务 选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 10. 已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 与 的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 在四棱锥 中，底面 为正方形， ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 己知椭圆 ， 两个焦点， O 为原点， P 为椭圆上一点， ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 若 为偶函数，则 ________ ． 14. 设 x ， y 满足约束条件 ，设 ，则 z 的最大值为 ____________ ． 15. 在正方体 中， E ， F 分别为 CD ， 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ____________ ． 16. 在 中， ， ， D 为 BC 上一点， AD 为 的平分线，则 _________ ． 三、解答题 17. 已知数列 中， ，设 为 前 n 项和， ． （1） 求 的通项公式； （2） 求数列 的前 n 项和 ． 18. 在三棱柱 中， ， 底面 ABC ， ， 到平面 的距离为 1 ． （1） 求证： ； （2） 若直线 与 距离为 2 ，求 与平面 所成角的正弦值． 19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）． （1） 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 ，求 的分布列和数学期望； （2） 测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好） 对照组： 17.3 18.4 20.1 20.4