【压轴题】专题18二次函数与旋转变换综合问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题18二次函数与旋转变换综合问题 【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 经过点 A （﹣1，0）和点 B （0，3），顶点为 C ，点 D 在其对称轴上，且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转90°，点 C 落在抛物线上的点 P 处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点 P 的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点 O ，这时点 P 落在点 E 的位置，在 y 轴上是否存在点 M ，使得 MP + ME 的值最小，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝﹣ x ﹣4分别与 x ， y 轴交于点 A ， B ，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 C 的坐标是（0，6），将△ ACO 绕着点 C 逆时针旋转90°得到△ ECF ，点 A 的对应点是点 E ． ① 写出点 E 的坐标，并判断点 E 是否在此抛物线上； ② 若点 P 是 y 轴上的任一点，求 BP + EP 取最小值时，点 P 的坐标． 【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线 y ＝ ax 2 ﹣3 x + c 与 x 轴交于 A （﹣4，0）， B 两点，与 y 轴交于点 C （0，4），点 D 为 x 轴上方抛物线上的动点，射线 OD 交直线 AC 于点 E ，将射线 OD 绕点 O 逆时针旋转45°得到射线 OP ， OP 交直线 AC 于点 F ，连接 DF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 D 在第二象限且 ＝ 时，求点 D 的坐标； （3）当△ ODF 为直角三角形时，请直接写出点 D 的坐标． 【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线 L 1 ： y ＝ ax 2 +2 x + b 与 x 轴交于两点 A ， B （3，0），与 y 轴交于点 C （0，3）． （1）求抛物线 L 1 的函数解析式，并直接写出顶点 D 的坐标； （2）如图，连接 BD ，若点 E 在线段 BD 上运动（不与 B ， D 重合），过点 E 作 EF ⊥ x 轴于点 F ，设 EF ＝ m ，问：当 m 为何值时，△ BFE 与△ DEC 的面积之和最小； （3）若将抛物线 L 1 绕点 B 旋转180°得抛物线 L 2 ，其中 C ， D 两点的对称点分别记作 M ， N ．问：在抛物线 L 2 的对称轴上是否存在点 P ，使得以 B ， M ， P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 一．解答题（共2 0 小题） 1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 W 1 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴