【专项突破】专题18 转化的数学思想在压轴题中的应用（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题18 转化的数学思想在压轴题中的应用 转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题。 （2022·山东烟台·统考中考真题） (1)【问题呈现】如图1，△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，连接 BD ， CE ．求证： BD ＝ CE ． (2)【类比探究】如图2，△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ ABC ＝∠ ADE ＝90°．连接 BD ， CE ．请直接写出 的值． (3)【拓展提升】如图3，△ ABC 和△ ADE 都是直角三角形，∠ ABC ＝∠ ADE ＝90°，且 ＝ ＝ ．连接 BD ， CE ． ①求 的值； ②延长 CE 交 BD 于点 F ，交 AB 于点 G ．求sin∠ BFC 的值． （1）证明△ BAD ≌△ CAE ，从而得出结论； （2）证明△ BAD ∽△ CAE ，进而得出结果； （3）①先证明△ ABC ∽△ ADE ，再证得△ CAE ∽△ BAD ，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ ACE ＝∠ ABD ，进而∠ BFC ＝∠ BAC ，进一步得出结果． 【答案】(1)见解析 (2) (3)① ；② 【详解】（1）证明：∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形， ∴ AD ＝ AE ， AB ＝ AC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝60°， ∴∠ DAE ﹣∠ BAE ＝∠ BAC ﹣∠ BAE ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴△ BAD ≌△ CAE （S A S）， ∴ BD ＝ CE ； （2）解：∵△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形， ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝45°， ∴∠ DAE ﹣∠ BAE ＝∠ BAC ﹣∠ BAE ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴△ BAD ∽△ CAE ， ； （3）解：① ，∠ ABC ＝∠ ADE ＝90°， ∴△ ABC ∽△ ADE ， ∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ， ∴∠ CAE ＝∠ BAD ， ∴△ CAE ∽△ BAD ， ； ②由①得：△ CAE ∽△ BAD ， ∴∠ ACE ＝∠ ABD ， ∵∠ AGC ＝∠ BGF ， ∴∠ BFC ＝∠ BAC ， ∴sin∠ BFC ． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． （2022·山东潍坊·中考真题） 【情境再现】 甲、乙两个含 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足 O 处，将甲绕点 O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 ，如图③所示， 交 于 E ， 交 于 F ，通过证明 ，可得 ． 请你证明： ． 【迁移应用】 延长 分别交 所在直线于点 P ， D ，如图④，猜想并证明 与 的 位置 关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 ，如图⑥所示，其他条件不变，