【专题复习】专题六 几何最值问题（含解析）-2024年中考数学二轮复习（全国适用）

专题六 几何最值问题 一、 最短路径问题 例题 （ 2022· 全国 · 八年级）如图 1 ，在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AB ＝ 10 ， BC ＝ 6 ， AC ＝ 8 ，点 P 为 AC 边上的一个动点，过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ，求 PB + PD 的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由． 练习题 1 ．（ 2020· 山东 · 东营市实验中学三模）如图，正方形 ABCD 的边长为 8 ，点 M 在 DC 上且 DM ＝ 2 ， N 是 AC 上的一动点，则 DN ＋ MN 的最小值是 ______ ． 2 ．（ 2022· 广西 · 上思县教育 科学研究所八年级 期末）如图，正 △ ABC 的边长为 2 ，过点 B 的直线 l ⊥ AB ，且 △ ABC 与 △ A ′ BC ′ 关于直线 l 对称， D 为线段 BC ′ 上一动点，则 AD + CD 的最小值是 _____ ． 3 ．（ 2022· 甘肃庆阳 · 八年级期末）如图，在等边 △ ABC 中， E 为 AC 边的中点， AD 垂直平分 BC ， P 是 AD 上的动点．若 AD =6 ，则 EP + CP 的最小值为 _______________ ． 4 ．（ 2021· 贵州 · 峰林 学校八 年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为 1 ，点 A ， B ， C 都是格点． （ 1 ）画出 △ ABC 关于直线 MN 对称的 ． （ 2 ）若 B 为坐标原点，请写出 、 、 的坐标，并直接写出 的长度．． （ 3 ）如图 2 ， A ， C 是直线同侧固定的点， D 是直线 MN 上的一个动点，在直线 MN 上画出点 D ，使 最小．（保留作图痕迹） 5 ．（ 2022· 湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的 “ 自相似分割线 ” ．如图 1 ，在 △ ABC 中， AB = AC =1 ， ∠ BAC =108° ， DE 垂直平分 AB ，且交 BC 于点 D ，连接 AD ． (1) 证明直线 AD 是 △ ABC 的自相似分割线； (2) 如图 2 ，点 P 为直线 DE 上一点，当点 P 运动到什么位置时， PA + PC 的值最小？求此时 PA + PC 的长度． (3) 如图 3 ，射线 CF 平分 ∠ ACB ，点 Q 为射线 CF 上一点，当 取最小值时，求 ∠ QAC 的正弦值． 6 ．（ 2021· 江苏 · 南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图 1 ， P 是 ⊙ O 外的一点，直线 PO 分别交 ⊙ O 于点 A ， B ，则 PA 是点 P 到 ⊙ O 上的点的最短距离． （ 1 ）探究证明：如图 2 ，在 ⊙ O 上任取一点 C （不与点 A ， B 重合），连接 PC ， OC ．求证： PA ＜ PC ． （ 2 ）直接应用：如图 3 ，在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ BC ＝ 3 ，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D ，