【几何模型解密】专题12 半角模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题12 半角模型 半角模型的概述： 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现 倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 基本模型： 1）90°的半角模型（常考） 已知正方形A BCD 中，E，F分别是B C 、 CD 上的点，∠ EAF=45 °，A E 、 AF 分别与 BD 相交于点 O 、 P ，则： ①E F=BE+DF ②A E 平分∠ BEF ，A F 平分∠ DFE ③ C ∆ CEF =2 倍正方形边长 ④S ∆ ABE +S ∆ ADF =S ∆ AEF ⑤ AB=AG=AD （过点A作A G ⊥ EF ，垂足为点 G ） ⑥ OP 2 =OB 2 +OD 2 ⑦若点 E 为 BC 中点，则点 F 为C D 三等分点 ⑧ ∆ APO ∽ ∆ AEF ∽ ∆ DPF ∽ ∆ BEO ∽ ∆ DAO ∽ ∆ BPA ⑨A BEP 四点共圆、A OFD 四点共圆、O ECFP 五点共圆 ⑩ ∆ APE 、 ∆ AOF 为等腰直角三角形 (11) EF= O P (12) S ∆ AEF =2S ∆ APO ( 13)AB 2 =BP × OD ( 14)CE • CF=2BE •D F (15) ∆ EPC 为等腰三角形 (16) P X=BX+DP( 过点 E 作 EX ⊥ BD ，垂足为点 X) 证明： ①思路：延长C D 到点M，使D M=BE ，连接A M 先根据已知条件 ∆ABE ≌ ∆ADM (SAS) ，由此可得A E=AM ，∠ BAE =∠D AM 而∠ BAE +∠ FAD = 45 °，所以∠ DAM +∠ FAD = 45 °，可证明 ∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ， 由此可得E F=MF ，而M F=DM+DF=BE+DF ，因此 E F=BE+DF ②思路：∵ ∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠ AFM =∠ AFE ，∠ AMF =∠ AEF ∴ A F 平分∠ DFE 又∵ ∠ AMF =∠ AEB ∴∠ AEB =∠ AEF ∴ A E 平分∠ BEF ③思路： C ∆CEF =EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC= （ BE+ EC ）+（ DF+ FC ）= BC+DC=2BC ④、⑤思路：过点A作A G ⊥ EF ，垂足为点 G 根据②证明过程可知 AFG =∠ AFD ，∠ AEB =∠ AEG 因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS) 所以 AB=AG=AD ， S ∆ABE =S ∆AGE ，S ∆AGF =S ∆ADF 则 S ∆AEF= S ∆AGE+ S ∆AGF= S ∆ABE + S ∆ADF ⑥思路：绕点A将 ∆APD 逆时针旋转90°得到 ∆ANB , 使A D ，A B 重合 因为 ∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以A N=AP ，B N=DP ，∠ NAB= ∠ PAD ，∠ ADP= ∠ ABN 因为∠ ADB= ∠ ABD= 45°，所以∠ NBO=90 ° 因为∠ BAE+∠PAD=45° 所以 ∠ NAB+ ∠ BAE=45°