第11讲 特殊三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-2024年中考数学解题方法+真题演练（通用版）（含解析）

第 11 讲 特殊三角形 （知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【 考纲要求 】 1． 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念 ， 会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【 知识导图 】 【考点 梳理 】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： 　　(1)具有三角形的一切性质； 　　(2)两底角相等(等边对等角)； 　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； 　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 3．判定： 　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； 　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 考 点二、直角三角形 1.直角三角形： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： 　(1)直角三角形中两锐角互余； 　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； 　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； 　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； 　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形； 　(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3．判定： 　　(1)两内角互余的三角形是直角三角形； 　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； 　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边． 【 典型例题 】 题 型一、 等腰三角形 例1 ． 如图，点O是等边 △ ABC内一点， ∠ AOB=110°， ∠ BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD． （1）当α=150°时，试判断 △ AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当a为多少度时， △ AOD是等腰三角形？ 【 变式 】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________． 　　　　　　　 例2 ． 已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF． 　　(1)求证:AE=AF． 　　(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形． 【 变式 】 如图， △ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA