2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题2二次函数与直角三角形问题
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
我们先看三个问题：
1．已知线段
AB
，以线段
AB
为直角边的直角三角形
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹是什么？
2．已知线段
AB
，以线段
AB
为斜边的直角三角形
ABC
有多少个？顶点
C
的轨迹是什么？
3．已知点
A
(4,0)，如果
△
OAB
是等腰直角三角形，求符合条件的点
B
的坐标．
图1 图2 图3
如图1，点
C
在垂线上
，垂足除外．
如图2，点
C
在以
AB
为直径的圆上，
A
、
B
两点除外．
如图3，以
OA
为边画两个正方形，除了
O
、
A
两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点
B
，共6个．
如图4，已知
A
(3, 0)，
B
(1,－4)，如果直角三角形
ABC
的顶点
C
在
y
轴上，求点
C
的坐标．
我们可以用几何的方法，作
AB
为直径的圆，快速找到两个符合条件的点
C
．
如果作
BD
⊥
y
轴于
D
，那么
△
AOC
∽△
CDB
．
设
OC
＝
m
，那么
．
这个方程有两个解，分别对应图中圆与
y
轴的两个交点．
对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.
【
例1
】
（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
2
﹣2
x
﹣3与
x
轴相交于点
A
、
B
（点
A
在点
B
的左侧），与
y
轴相交于点
C
，连接
AC
、
BC
．
（1）求线段
AC
的长；
（2）若点
P
为该抛物线对称轴上的一个动点，当
PA
＝
PC
时，求点
P
的坐标；
（3）若点
M
为该抛物线上的一个动点，当△
BCM
为直角三角形时，求点
M
的坐标．
【
例2
】
．（2022•辽宁）如图，抛物线
y
＝
ax
2
﹣3
x
+
c
与
x
轴交于
A
（﹣4，0），
B
两点，与
y
轴交于点
C
（0，4），点
D
为
x
轴上方抛物线上的动点，射线
OD
交直线
AC
于点
E
，将射线
OD
绕点
O
逆时针旋转45°得到射线
OP
，
OP
交直线
AC
于点
F
，连接
DF
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点
D
在第二象限且
＝
时，求点
D
的坐标；
（3）当△
ODF
为直
【压轴题】专题2二次函数与直角三角形问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习
