第
12
讲
勾股定理及其逆定理
(知识精讲+真题练+模拟练+自招练)
【
考纲要求
】
1.
了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题;
4.
加强知识间的内在联系,用方程思想解决几何问题.以体现代数与几何之间的内在联系.
【
知识导图
】
【考点
梳理
】
考点一、勾股定理
1.勾股定理:
直角三角形两直角边
的平方和等于斜边
的平方.(即:
)
2.勾股定理的证明:
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
.
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
:
①图形
经
过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
.
3.
勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边,在
中,
,则
,
,
;
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
;
③可运用勾股定理解决一些实际问题
.
考点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长
,满足
,那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即
中,
,
,
为正整数时,称
,
,
为一组勾股数
;
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如
;
;
;
等
;
③用含字母的代数式表示
组勾股数:
(
为正整数);
(
为正整数)
(
,
为正整数)
.
考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关.
【
典型例题
】
题
型一、勾股定理及其逆定理的综合应用
例1
.
在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为CD上一点,且
,试判断
△
AEF是否是直角三角形?试说明理由.
【
变式
】
如图,矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为( )
.
A
.
14 B
.
16 C
.
20 D
.
28
例2
.如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2
.
则BD的长为( )
.
A.
B.
C.
第12讲 勾股定理及其逆定理(知识精讲+真题练+模拟练+自招练)-2024年中考数学解题方法+真题演练(通用版)(含解析)