第12讲 勾股定理及其逆定理（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-2024年中考数学解题方法+真题演练（通用版）（含解析）

第 12 讲 勾股定理及其逆定理 （知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【 考纲要求 】 1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4. 加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系． 【 知识导图 】 【考点 梳理 】 考点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ） 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 . 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ： ①图形 经 过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 . 3. 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在 中， ，则 ， ， ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ； ③可运用勾股定理解决一些实际问题 . 考点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数 ； ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等 ； ③用含字母的代数式表示 组勾股数： （ 为正整数）； 　 （ 为正整数） （ ， 为正整数） . 考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【 典型例题 】 题 型一、勾股定理及其逆定理的综合应用 例1 ． 在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且 ，试判断 △ AEF是否是直角三角形？试说明理由． 【 变式 】 如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　） . A . 14 B . 16 C . 20 D . 28 例2 ．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2 . 则BD的长为（　　） . A. B. C.