【常考点归纳提分特训】专题09 三点共线问题（含解析） -2024年中考数学二轮复习（全国通用）

专题09 三点共线问题 一、【知识回顾】 【三点共线模型】 ①函数模型：构建平面直角坐标系，求出三个点坐标，其中两个点构建一次函数模型，判断第三个点是否在函数图像上，满足则共线 ②平角模型 如图，要证明A、B、C三点共线，可以选择一条过B点的直线PBQ，并连接AB、CB，证明∠ABP与∠CBP互为邻补角，即∠ABP+∠CBP=180° ③平行线模型 如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AB∥DE，在证明BC∥DE ④垂线模型 如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AC⊥MN，在证明A⊥MN 【三线共点模型】 ①证明两条线的交点，在第三条直线上 ②证明三条线中两条线的交点和另外两条线的交点是同一个 二、【考点类型】 考点1：三点共线 典例1： （2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，将 绕点 B 按顺时针方向旋转得到 ，当点 E 恰好落在线段 上时，连接 ， 的平分线 交 于点 F ，连接 ． (1)求 的长； (2)求证： C 、 E 、 F 三点共线． 【变式1】 （2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，连接 ． (1)如图 ，当点 恰好在 上时，求 的大小； (2)如图 ，若 ，点 是 的中点，判断四边形 的形状，并证明你的结论． (3)如图 ，若点 为 中点， 求证： 、 、 三点共线． 求 的最大值． 【变式2】 （2021春·福建厦门·九年级校考阶段练习）抛物线 C 1 ： y ＝﹣ x 2 +2 mx ﹣ m 2 + m +3的顶点为 A ，抛物线 C 2 ： y ＝﹣（ x + m +4） 2 ﹣ m ﹣1的顶点为 B ，其中 m ≠﹣2，抛物线 C 1 与 C 2 相交于点 P ． (1)当 m ＝1时，求抛物线 C 1 的顶点坐标； (2)已知点 C （﹣2，1），求证：点 A ， B ， C 三点共线； (3)设点 P 的纵坐标为 q ，求 q 的取值范围． 【变式3】 （2022秋·福建福州·九年级统考期末）如图，已知矩形 ABCD 中， 于点 E ， ． (1)若 ，求 CE 的长； (2)设点 C 关于 AD 的对称点为 F ，求证： B ， E ， F 三点共线． 考点2：三线共点 典例2： （2021·福建·统考中考真题）如图，已知线段 ，垂足为 a ． （1）求作四边形 ，使得点 B ， D 分别在射线 上，且 ， ， ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设 P ， Q 分别为（1）中四边形 的边 的中点，求证：直线 相交于同一点． 【变式1】 （2020·福建·统考中考真题）如图， 为线段 外一点． （1）求作四边形 ，使得 ，且 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形 中， ，