模型介绍
模型介绍
背景故事：
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，
如下图，已知
A
、
B
两点，点
P
满足
PA
：
PB=k
（
k≠1
），则满足条件的所有的点
P
的轨迹
构成的图形为圆．
这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”
.
模型建立：
当点
P
在一个以
O
为圆心，
r
为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：
△
BOP
∽△
POA
，
，
∴
对于圆上任意一点
P
都有
.
对于任意一个圆，任意一个
k
的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取
A
、
B
点，则需
R
【技巧总结】计算
的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得
的值最小，解决步骤具体如下：
①
如图，将系数不为
1
的线段两端点与圆心相连即
OP
，
OB
②
计算出这两条线段的长度比
③
在
OB
上取一点
C
，使得
，即构造
△POM∽△BOP
，
则
，
④
则
，当
A
、
P
、
C
三点共线时可得最小值
例题精讲
例题精讲
【例1】
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
CB
＝
4
，
CA
＝
6
，
⊙
C
半径为
2
，
P
为圆上一动点，连接
AP
，
BP
，则
AP
+
BP
的最小值为
________.
变式训练
【变式1-1】．
如图，正方形
ABCD
的边长为
4
，
⊙
B
的半径为
2
，
P
为
⊙
B
上的动点，则
PD
+
PC
的最小值等于
．
【变式1-2】．
如图，在△
ABC
中，∠
A
＝
90
°，
AB
＝
AC
＝
4
，点
E
、
F
分别是边
AB
、
AC
的中点，点
P
是以
A
为圆心、以
AE
为半径的圆弧上的动点，则
的最小值为
．
【变式1-3】．
如图，在直角坐标系中，以原点
O
为圆心作半径为
4
的圆交
x
轴正半轴于点
A
，点
M
的坐标为（
6
，
3
），点
N
的坐标为（
8
，
0
），点
P
在圆上运动．则
PM
+
PN
的最小值是
．
【例2】．
如图，在
⊙
O
中，点
A
、点
B
在
⊙
O
上，∠
AOB
＝
90
°，
OA
＝
6
，点
C
在
OA
上，且
OC
＝
2
AC
，点
D
是
OB
的中点，点
M
是劣弧
AB
上的动点，则
CM
+2
DM
的最小值为
．
变式训练
【变式2-1】．
⊙
O
半径为
2
，
AB
，
DE
为两条直线．作
DC
⊥
AB
于
C
，且
C
为
AO
中点，
P
为圆上一个动点．求
2
PC
+
PE
的最小值．
【变式2-2】．
如图，在扇形
OCD
中，∠
COD
＝
90
°，
OC
＝
3
，点
A
在
OD
上，
AD
＝
1
，点
B
为
OC
的中点，点
E
是弧
CD
上的动点，则
AE
+2
EB
的最小值是
．
【变式2-3】
．如图，等边△
ABC
的边长
6
，内切圆记为
⊙
O
，
P
是
⊙
O
上一
【解题大招】模型17 阿氏圆最值问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
