【压轴题】专题09二次函数与正方形存在性问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题 09 二次函数与正方形存在性问题 二次函数与正方形存在性问题 1. 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有： 思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 3.示例：在平面直角坐标系中，已知 A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 【例 1 】（ 2022 •齐齐哈尔）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数 y ＝ x 2 + mx + n 的 图象 交点为 A （﹣ 1 ， 0 ）， B （ 4 ， 5 ）． （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）点 C 为抛物线对称轴上一动点，当 AC 与 BC 的和最小时，点 C 的坐标为 　 　 ； （ 3 ）点 D 为抛物线位于线段 AB 下方 图象 上一动点，过点 D 作 DE ⊥ x 轴，交线段 AB 于点 E ，求线段 DE 长度的最大值； （ 4 ）在（ 2 ）条件下，点 M 为 y 轴上一点，点 F 为直线 AB 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，若以点 C ， M ， F ， N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 N 的坐标． 【例 2 】．（ 2022 •扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 AB 在 x 轴上，且 AB ＝ 8 dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 y 轴，高度 OC ＝ 8 dm ．现计划将此余料进行切割： （ 1 ）若切割成正方形，要求一边在底部边缘 AB 上 且面积 最大，求此正方形的面积； （ 2 ）若切割成矩形，要求一边在底部边缘 AB 上且周长最大，求此矩形的周长； （ 3 ）若切割成圆，判断能否切得半径为 3 dm 的圆，请说明理由． 【例 3 】（ 2022 •海南）如图 1 ，抛物线 y ＝ ax 2 +2 x + c 经过