专题08 几何中的面积问题
面积问题是压轴题中常考的问题，不仅在几何压轴题中，在函数压轴题中考查的频率也很高。几何压轴题中的面积问题往往比较抽象，并不是简单几何图形的面积，通常情况下，我们需要对所求的几何图形面积进行转化为我们熟悉的可求的类型。在几何压轴题中的面积考查主要表现为两个方面：一是求某个几何图形的面；二是求变化中的几何图形面积的最值。
一、求某个几何图形面积的类型，常用的方法：
1.添加辅助线：通常包括做出三角形的高，割补法构造三角形等。
2.图形变换的方式对所求图形进行转化，例如通过平移、旋转等变化，把复杂图形转化为三角形等。
3.可以利用三角形全等，对图形进行转化。
4.利用相似三角形的面积之比等于相似比，构建方程进行求解。
二、求变化中的几何图形的面积问题：
（1）方程与函数的方法：通常需要设出未知数
x
，并用
x
表示出求面积所必需的边长和高，构建方程求出未知数，或构建函数，利用函数的性质求得面积的最值。
（2）几何的方法：一般情况下，在求变化中几何图形的面积的最值时，需要我们找准变化的量，讨论变化的量的临界值，例如：在求变化三角形的面积最值时，如果底边长一定，而底边上的高在不断的变化，我们就要根据高线变化的规律，寻找高的最大值或者最小值的情况，从而求得面积的最小值。
（2022·浙江衢州·统考中考真题）
如图，在菱形
ABCD
中，
AB
=5，
BD
为对角线.点
E
是边
AB
延长线上的任意一点，连结
交
于点
，
平分
交
于点
G
．
(1)求证：
.
(2)若
．
①求菱形
的面积.
②求
的值.
(3)若
，当
的大小发生变化时（
），在
上找一点
，使
为定值，说明理由并求出
的值．
（1）由菱形的性质可证得∠
CBD
＝∠
ABD
＝
∠
ABC
，由
平分
交
于点
G
，得到∠
CBG
＝∠
EBG
＝
∠
CBE
，进一步即可得到答案；
（2）①连接
AC
交
BD
于点
O
,
Rt
△
DOC
中，
OC
＝
，求得
AC
＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由
BG
AC
，得到
，
DH
＝
HG
，
DG
＝2
DH
，又由
DG
＝2
GE
，得到
EG
＝
DH
＝
HG
，则
，再证明△
CDH
∽△
AEH
，
CH
＝
AC
＝
，
OH
＝
OC
－
CH
＝4－
＝
，利用正切的定义得到答案；
（3）过点
G
作
GT
BC
，交
AE
于点
T
，△
BGE
∽△
AHE
，得
AB
＝
BE
＝5，则
EG
＝
GH
，再证△
DOH
∽△
DBG
，得
DH
＝
GH
＝
EG
，由△
EGT
∽△
EDA
得
，
GT
＝
，为定值，即可得到
ET
的值．
【答案】(1)见解析
(2)①24，②
(3)
＝
，理由见解析
【详解】
（1）证明：∵四边形
ABCD
是菱
【专项突破】专题08 几何中的面积问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题
