【压轴题】专题23二次函数推理计算与证明综合问题 （全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题23二次函数推理计算与证明综合问题 【 例1】 （2022•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1， m ），（3， n ）在抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ＞0）上，设抛物线的对称轴为直线 x ＝ t ． （1）当 c ＝2， m ＝ n 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值； （2）点（ x 0 ， m ）（ x 0 ≠1）在抛物线上．若 m ＜ n ＜ c ，求 t 的取值范围及 x 0 的取值范围． 【 例2】 （2022•绍兴）已知函数 y ＝﹣ x 2 + bx + c （ b ， c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求 b ， c 的值． （2）当﹣4≤ x ≤0时，求 y 的最大值． （3）当 m ≤ x ≤0时，若 y 的最大值与最小值之和为2，求 m 的值． 【 例3】 （2022•青岛）已知二次函数 y ＝ x 2 + mx + m 2 ﹣3（ m 为常数， m ＞0）的图象经过点 P （2，4）． （1）求 m 的值； （2）判断二次函数 y ＝ x 2 + mx + m 2 ﹣3的图象与 x 轴交点的个数，并说明理由． 【 例4】 （2022•杭州）设二次函数 y 1 ＝2 x 2 + bx + c （ b ， c 是常数）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点． （1）若 A ， B 两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数 y 1 的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数 y 1 的表达式可以写成 y 1 ＝2（ x ﹣ h ） 2 ﹣2（ h 是常数）的形式，求 b + c 的最小值． （3）设一次函数 y 2 ＝ x ﹣ m （ m 是常数），若函数 y 1 的表达式还可以写成 y 1 ＝2（ x ﹣ m ）（ x ﹣ m ﹣2）的形式，当函数 y ＝ y 1 ﹣ y 2 的图象经过点（ x 0 ，0）时，求 x 0 ﹣ m 的值． 【 例5】 （2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为和谐点．例如：点（1，1），（ ， ），（﹣ ，﹣ ），……都是和谐点． （1）判断函数 y ＝2 x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数 y ＝ ax 2 +6 x + c （ a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）． ① 求 a ， c 的值； ② 若1≤ x ≤ m 时，函数 y ＝ ax 2 +6 x + c + （ a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数 m 的取值范围． 一．解答题（共2 0 题） 1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线 y ＝ ax 2 ﹣2 ax ﹣2+ a 2 （ a ≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在 x 轴上，求 a 的值； （2）设点 P （ m ， y 1 ）， Q （4， y 2 ）在抛物线上，若 y 1 ＜ y 2 ，求 m 的取值范围． 2．（2022•西