专题07 五大最值问题模型
一、【知识回顾】
（1）将军饮马模型：
①一定两动
②一定两动
③两定两动
（2）费马点模型：
（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）
（3）阿氏圆模型：
（4）胡不归模型：
（5）隐圆最值模型：
①四点共圆： ②动点到定点等定长：
③直角所对的是直径：
④定弦对定角：
二、【考点类型】
考点1：
将军饮马模型
典例1：
（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，
AB
为直径，弦
AD
平分∠
BAC
，过点
D
作射线
AC
的垂线，垂足为
M
，点
E
为线段
AB
上的动点．
(1)求证：
MD
是⊙
O
的切线；
(2)若∠
B
＝30°，
AB
＝8，在点
E
运动过程中，
EC
+
EM
是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点
E
恰好运动到∠
ACB
的角平分线上，连接
CE
并延长，交⊙
O
于点
F
，交
AD
于点
P
，连接
AF
，
CP
＝3，
EF
＝4，求
AF
的长．
【变式1】
（2023春·八年级课时练习）如图，在等边
中，
于
，
．点
分别为
上的两个定点且
，点
为线段
上一动点，连接
，则
的最小值为______
．
【变式2】
（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点
P
是
内任意一点，
，点
M
和点
N
分别是射线
和射线
上的动点，
，则
周长的最小值是______．
【变式3】
（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图像经过
A
（1，4），
B
（4，1）两点，并且交
x
轴于点
C
，交
y
轴于点
D
．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若
y
轴存在一点
P
使
PA
＋
PB
的值最小，求此时点
P
的坐标及
PA
＋
PB
的最小值；
(3)在
x
轴上是否存在一点
M
，使△
MOA
的面积等于△
AOB
的面积；若存在请直接写出点
M
的坐标，若不存在请说明理由．
考点2：费马点模型
典例2：
（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在
中，
，
P
是
内一点，求
的最小值为______．
【变式1】
（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=
；
（1）如图1，将
△
ADE绕点D逆时针旋转90°得到
△
DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）；
②求
的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【变式2】
（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形
的边长为4，点
是正方形内部一点，求
的最小值．
【变式3】
（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点
【常考点归纳提分特训】专题07 五大最值问题模型（含解析）-2024年中考数学二轮复习（全国通用）
