【专项突破】专题16 函数的图像变换问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题16 函数的图像变换问题 函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规律以二次函数为例： 1 ． 保持 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到（ h ， k ）处，具体平移方法如下： 2 ．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． （2022·湖北恩施·统考中考真题） 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 与 y 轴交于点 ． (1)直接写出抛物线的解析式． (2)如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为 Q ，平移后的抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C ．判断以 B 、 C 、 Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由． (3)直线 BC 与抛物线 交于 M 、 N 两点（点 N 在点 M 的右侧），请探究在 x 轴上是否存在点 T ，使得以 B 、 N 、 T 三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线 BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标． （1）待定系数法求二次函数解析式； （2）分别求得 B 、 C 、 Q 的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解； （3）由 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解； （4）如图，作 且与抛物线只有1个交点，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形，作 于 ，进而求得直线 与 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解． 【答案】(1) (2)以 B 、 C 、 Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 或 ， (4)最短距离为 ，平移后的顶点坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线 与 y 轴交于点 ∴ 抛物线解析式为 （2）以 B 、 C 、 Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 的顶点坐标为 依题意得， 平移后的抛物线解析式为 令 ，解 得 令 ，则 ，即 以 B 、 C 、 Q 三点为顶点的三角形是直角三角形 （3）存在， 或 ，理由如下， ， ， 是等腰直角三角形 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 联立 解得 ， ， ， 是等腰直角三角形 ， 设直线 的解析式为 , 直线 的解析式为 当 时， 设 的解析式为 ，由 NT 过点 则 解得 的解析式为 ， 令 解