【专项突破】专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题 在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，用以帮助解决角度的相等问题或者线段的数量关系。 （1）在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结合所求进行转化，从而得到我们想要的角度关系。 （2）压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质，找出中间线段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。 （3）压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的性质进行转化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。 （2022·辽宁丹东·统考中考真题） 已知矩形 ABCD ，点 E 为直线 BD 上的一个动点（点 E 不与点 B 重合），连接 AE ，以 AE 为一边构造矩形 AEFG （ A ， E ， F ， G 按逆时针方向排列），连接 DG ． (1)如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系； (2)如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接 BG ， EG ，分别取线段 BG ， EG 的中点 M ， N ，连接 MN ， MD ， ND ，若 AB ＝ ，∠ AEB ＝45°，请直接写出△ MND 的面积． （1）证明△ BAE ≌△ DAG ，进一步得出结论； （2）证明 BAE ∽△ DAG ，进一步得出结论； （3）解斜三角形 ABE ，求得 BE ＝3，根据（2） 可得 DG ＝6，从而得出三角形 BEG 的面积，可证得△ MND ≌△ MNG ，△ MNG 与△ BEG 的面积比等于1：4，进而求得结果． 【答案】(1) BE ＝ DG ， BE ⊥ DG (2) BE ＝ ， BE ⊥ DG ，理由见解析 (3) S △ MNG ＝ 【详解】 （1）解：由题意得：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AG ，∠ BAD ＝∠ EAG ＝90°， ∴∠ BAD ﹣∠ DAE ＝∠ EAG ﹣∠ DAE ， ∴∠ BAE ＝∠ DAG ， ∴△ BAE ≌△ DAG （SAS）， ∴ BE ＝ DG ，∠ ABE ＝∠ ADG ， ∴∠ ADG +∠ ADB ＝∠ ABE +∠ ADB ＝90°， ∴∠ BDG ＝90°， ∴ BE ⊥ DG ； （2） BE ＝ ， BE ⊥ DG ，理由如下： 由（1）得：∠ BAE ＝∠ DAG ， ∵ ＝ ＝2， ∴△ BAE ∽△ DAG ， ∴ ，∠ ABE ＝∠ ADG ， ∴∠ ADG +∠ ADB ＝∠ ABE +∠ ADB ＝90°， ∴∠ BDG ＝90°， ∴ BE ⊥ DG ； （3）如图， 作 AH ⊥ BD 于 H ， ∵tan∠ ABD ＝ ， ∴设 AH ＝2 x ， BH ＝ x ， 在 Rt △ ABH 中， x 2 +（2 x ） 2 ＝（ ） 2 ， ∴ BH ＝1， AH ＝2， 在 Rt △ AEH 中， ∵tan∠ AB