【解题大招】模型48 梯子最值与斜边中点模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型. 【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC， 当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值 【简证】 如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ= AB. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= . 若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC， 即 OC= AB+ 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，已知，∠ MON ＝∠ BAC ＝90°，且点 A 在 OM 上运动，点 B 在 ON 上运动，若 AB ＝8， AC ＝6，则 OC 的最大值为 　 　 ． 变式训练 【变式1-1】 ．如图，矩形 ABCD ， AB ＝2， BC ＝4，点 A 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 D 也随之在 y 轴上运动，在这个运动过程中，点 C 到原点 O 的最大距离为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1-2】 ．如图，∠ MON ＝90°，已知△ ABC 中， AC ＝ BC ＝13， AB ＝10，△ ABC 的顶点 A 、 B 分别在边 OM 、 ON 上，当点 B 在边 ON 上运动时， A 随之在 OM 上运动，△ ABC 的形状始终保持不变，在运动的过程中，点 C 到点 O 的最小距离为_______ 【例2】 ．如图，点 A 、 B 分别在 y 轴和 x 轴正半轴上滑动，且保持线段 AB ＝4，点 D 坐标为（4，3），点 A 关于点 D 的对称点为点 C ，连接 BC ，则 BC 的最小值为 　　 ． 变式训练 【变式2-1】 ．如图， OA ⊥ OB ，垂足为 O ， P 、 Q 分别是射线 OA 、 OB 上的两个动点，点 C 是线段 PQ 的中点，且 PQ ＝4，点 Q 从点 O 出发沿 OB 方向运动过程中，动点 C 运动形成的路径长是 　　 ． 【变式2-2】 ．如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝3， BC ＝4， D 为 AC 的中点，过点 D 作 DE ⊥ DF ， DE ， DF 分别交 AB ， BC 于点 E ， F ，求 EF 的最小值． 1．如图，∠ MON ＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A ， B 分别在 OM 、 ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB ＝2， BC ＝ ．运动过程中，当点 D 到点 O 的距离最大时， OA 长度为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，Rt△ ABC 中， AB ＝6， AC ＝8．∠ BAC ＝90°， D ， E 为 AB ， AC 边上的两个动点，且 DE ＝6， F 为 DE 中点，则 BF + CF 的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，