【几何模型解密】专题15 海盗埋宝模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题15 海盗埋宝模型 (3 种证明方法 ) 模型文字概述： 从前，某海盗头带着众海盗，用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上。他们要把这些财物埋下。因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现，岛上有三棵树，一棵是 A ，一棵是 B ，一棵是 C 。海盗头对一个水手说： “ 从 A 到 B 拉一根绳子，然后从 B 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做 1 号地点。 ” 水手这样做了。 　　海盗头又对另一个水手说： “ 从 A 到 C 拉一根绳子，然后从 C 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做 2 号地点。 ” 第二个水手也这样做了。 　　等水手找到 1 号、 2 号地点的时候，海盗头便下令说： “ 伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！ ” 海盗们把财宝埋好了，上船走了。 　　过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从，两个人回到岛上。可谁知， A 被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树还在。水手非常懊恼，觉得他们的美梦要落空了。可是，小侍从却很聪明，他说： “ 别急，没有 A ，我一样能把财宝找出来！ ” 　　只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点，过中点作了一条该连线的垂线，沿着该垂线在向岛内走出两棵树连线一半的距离，这时小侍从对水手说： “ 这儿就是藏宝的地点，我们快挖吧！ ” 　　水手将信将凝，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，谁知挖了一会儿，果然挖到了海盗们以前埋下的财宝。两个人把财宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗？ 模型数学概述： 如图， ∆ ABD和 ∆ACE 是等腰直角三角形，点 B 、 C 为直角顶点，连接 DE ，点 F 为 DE 的中点，连接 BF 、 CF ， 则 ∆BFC 为等腰直角三角形，点 F 为直角顶点。 证明方法一： 1)如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB于点Q 连接BC ∵ 点 F 为 DE 的中点 ∴ DF=EF 在 ∆ BDF和 ∆PEF 中 BF=FP ∠BFD=∠PFE ∴ ∆ BDF ≌ ∆PEF （ SAS ） ∴ BD=PE ∠DBF=∠EPF DF=EF ∴BD ‖ PE ∴∠DBA=∠EQA ∵ ∆ ABD和 ∆ACE 是等腰三角形 ∴ AB=BD ∠ DBA=90 ° AC=AE ∠ ACE=90 ° ∴AB=PE ∠DBA=∠EQA=90° 在四边形EQAC中 ∵∠EQA +∠ECA =90° + 90°= 180° ∴ ∠QAC +∠QEC =360°-180°= 180° 又∵∠PEC +∠QEC= 180° ∴∠QAC=∠PEC 在 ∆ BAC和 ∆PEC 中 AB=PE ∠BAC=∠PEC ∴ ∆ BAC ≌ ∆PEC （ SAS ） ∴BC=P