【压轴题】专题17二次函数与公共点及交点综合问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题17二次函数与公共点及交点综合问题 【例1】．（2022•大庆）已知二次函数 y ＝ x 2 + bx + m 图象的对称轴为直线 x ＝2，将二次函数 y ＝ x 2 + bx + m 图象中 y 轴左侧部分沿 x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象 C ． （1）求 b 的值； （2） ① 当 m ＜0时，图 C 与 x 轴交于点 M ， N （ M 在 N 的左侧），与 y 轴交于点 P ．当△ MNP 为直角三角形时，求 m 的值； ② 在 ① 的条件下，当图象 C 中﹣4≤ y ＜0时，结合图象求 x 的取值范围； （3）已知两点 A （﹣1，﹣1）， B （5，﹣1），当线段 AB 与图象 C 恰有两个公共点时，直接写出 m 的取值范围． 【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3的顶点为 A ，与 y 轴交于点 C ，线段 CB ∥ x 轴，交该抛物线于另一点 B ． （1）求点 B 的坐标及直线 AC 的解析式； （2）当二次函数 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3的自变量 x 满足 m ≤ x ≤ m +2时，此函数的最大值为 p ，最小值为 q ，且 p ﹣ q ＝2，求 m 的值； （3）平移抛物线 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3，使其顶点始终在直线 AC 上移动，当平移后的抛物线与射线 BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为 n ，请直接写出 n 的取值范围． 【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线 y ＝ ax 2 + bx +3（ a ≠0）与 x 轴交于 A （1，0）， B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点 D 的坐标； （2）若四边形 BCEF 为矩形， CE ＝3．点 M 以每秒1个单位的速度从点 C 沿 CE 向点 E 运动，同时点 N 以每秒2个单位的速度从点 E 沿 EF 向点 F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 M 、 E 、 N 为顶点的三角形与△ BOC 相似时，求运动时间 t 的值； （3）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P ，点 G 是点 P 关于点 D 的对称点，点 Q 是 x 轴下方抛物线上的动点．若过点 Q 的直线 l ： y ＝ kx + m （| k | ）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 GA 、 GB 相交于点 H 、 K ，求证： GH + GK 为定值． 【例4】．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax 2 + bx ﹣3经过点 B （6，0）和点 D （4，﹣3），与 x 轴的另一个交点为 A ，与 y 轴交于点 C ，作直线 AD ． （1） ① 求抛物线的函数表达式； ② 直接写出直线 AD 的函数表达式； （2）点 E 是直线 AD 下方的抛物线上一点，连接 BE