【压轴题】专题11二次函数与单线段最值问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题11二次函数与单线段最值问题 【 例1 】 （2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线 y ＝ mx ﹣2 m 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，顶点为 D 的抛物线 y ＝﹣ x 2 +2 mx ﹣ m 2 +2与 y 轴交于点 C ． （1）如图，当 m ＝2时，点 P 是抛物线 CD 段上的一个动点． ① 求 A ， B ， C ， D 四点的坐标； ② 当△ PAB 面积最大时，求点 P 的坐标； （2）在 y 轴上有一点 M （0， m ），当点 C 在线段 MB 上时， ① 求 m 的取值范围； ② 求线段 BC 长度的最大值． 【例 2 】 （2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是边长为3的正方形，其中顶点 A ， C 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上．抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 经过 A ， C 两点，与 x 轴交于另一个点 D ． （1） ① 求点 A ， B ， C 的坐标； ② 求 b ， c 的值． （2）若点 P 是边 BC 上的一个动点，连结 AP ，过点 P 作 PM ⊥ AP ，交 y 轴于点 M （如图2所示）．当点 P 在 BC 上运动时，点 M 也随之运动．设 BP ＝ m ， CM ＝ n ，试用含 m 的代数式表示 n ，并求出 n 的最大值． 【 例3 】 （2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝ x +2与坐标轴交于 A ， B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上， C 点的坐标为（1，0），抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 经过点 A ， B ， C ． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式 ax 2 +（ b ﹣1 ） x + c ＞2的解集； （3）点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 作直线 AB 的垂线段，垂足为 Q 点．当 PQ ＝ 时，求 P 点的坐标． 【 例4 】 （2022•雅安）已知二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 的图象过点 A （﹣1，0）， B （3，0），且与 y 轴交于点 C （0，﹣3）． （1）求此二次函数的表达式及图象顶点 D 的坐标； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在点 E ，使△ ACE 为Rt△，若存在，试求点 E 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系中，存在点 P ，满足 PA ⊥ PD ，求线段 PB 的最小值． 1．（2020•河北模拟）已知抛物线 C ： y ＝ ax 2 + bx + c （ a ＞0， c ＜0）的对称轴为 x ＝4， C 为顶点，且 A （2，0）， C （4，﹣2） 【问题背景】求出抛物线 C 的解析式． 【尝试探索】如图2，作点 C 关于 x 轴的对称点 C ′，连接 BC ′，作直线 x ＝ k 交 BC ′于点 M ，交抛物线 C 于点 N ． ① 连接 ND ，若四边形 MNDC ′是平行