【专项突破】专题14 函数中的最值问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题14 函数中的最值问题 函数中的最值问题在中考中的考查频率较高 ， 主要包括求线段之和的最小值（将军饮马型）、求线段之和的最小值（修桥模型）、胡不归求最值问题等 。 一、求线段之和的最小值（将军饮马型） 1 . 在一条直线 m 上 ， 求一点 P ， 使 PA + PB 最小； （1）点 A 、 B 在直线 m 两侧： （2）点 A 、 B 在直线同侧： A 、 A '是关于直线 m 的对称点。 2 . 在直线 m 、 n 上分别找两点 P 、 Q ， 使 PA + PQ + QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧 ， 一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A 、 B 位于直线 m ， n 的内侧 ， 在直线 n 、 m 分别上求点 D 、 E 点 ， 使得围成的四边形 ADEB 周长最短. 变式二：已知点 A 位于直线 m ， n 的内侧 ， 在直线 m 、 n 分别上求点 P 、 Q 点 PA + PQ + QA 周长最短. 二、求线段之和的最小值（修桥模型） 已知 A 、 B 是两个定点 ， P 、 Q 是直线 m 上的两个动点 ， P 在 Q 的左侧 ， 且 PQ 间长度恒定 ， 在直线 m 上要求 P 、 Q 两点 ， 使得 PA + PQ + QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点 A 、 B 在直线 m 两侧： 过 A 点作 AC // m ， 且 AC 长等于 PQ 长 ， 连接 BC ， 交直线 m 于 Q ， Q 向左平移 PQ 长 ， 即为 P 点 ， 此时 P 、 Q 即为所求的点。 （2）点 A 、 B 在直线 m 同侧： 过 A 点作 A E // m ， 且 A E 长等于 PQ 长 ， 作 B 关于 m 的对称点 B ' ， 连接 B' E ， 交直线 m 于 Q ， Q 向左平移 PQ 长 ， 即为 P 点 ， 此时 P 、 Q 即为所求的点。 三、胡不归求最值（胡不归模型） 一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V 1 ， 在直线 MN 上运动的速度为 V 2 ， 且 V 1< V 2 ， A 、 B 为定点 ， 点 C 在直线 MN 上 ， 确定点 C 的位置使 的值最小． ， 记 ， 即求 BC + kAC 的最小值． 构造射线 AD 使得 sin ∠ DAN = k ， CH / AC = k ， CH = kAC ． 将问题转化为求 BC + CH 最小值 ， 过 B 点作 BH ⊥ AD 交 MN 于点 C ， 交 AD 于 H 点 ， 此时 BC + CH 取到最小值 ， 即 BC + kAC 最小． 在求形如 “ PA + kPB ” 的式子的最值问题中 ， 关键是构造与 kPB 相等的线段 ， 将 “ PA + kPB ” 型问题转化为 “ PA + PC ” 型． （2022·西藏·统考中考真题） 在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝﹣ ＋（ m ﹣1） x ＋2 m