2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题22二次函数与新定义综合问题
【
例1】
（2022•湘西州）定义：由两条与
x
轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图
①
，抛物线
C
1
：
y
＝
x
2
+2
x
﹣3与抛物线
C
2
：
y
＝
ax
2
+2
ax
+
c
组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线
C
1
和抛物线
C
2
与
x
轴有着相同的交点
A
（﹣3，0）、
B
（点
B
在点
A
右侧），与
y
轴的交点分别为
G
、
H
（0，﹣1）．
（1）求抛物线
C
2
的解析式和点
G
的坐标．
（2）点
M
是
x
轴下方抛物线
C
1
上的点，过点
M
作
MN
⊥
x
轴于点
N
，交抛物线
C
2
于点
D
，求线段
MN
与线段
DM
的长度的比值．
（3）如图
②
，点
E
是点
H
关于抛物线对称轴的对称点，连接
EG
，在
x
轴上是否存在点
F
，使得△
EFG
是以
EG
为腰的等腰三角形？若存在，请求出点
F
的坐标；若不存在，请说明理由．
【
例2】
（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于
n
（
n
≥0）的点叫做这个函数图象的“
n
阶方点”．例如，点（
，
）是函数
y
＝
x
图象的“
阶方点”；点（2，1）是函数
y
＝
图象的“2阶方点”．
（1）在
①
（﹣2，﹣
）；
②
（﹣1，﹣1）；
③
（1，1）三点中，是反比例函数
y
＝
图象的“1阶方点”的有
（填序号）；
（2）若
y
关于
x
的一次函数
y
＝
ax
﹣3
a
+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求
a
的值；
（3）若
y
关于
x
的二次函数
y
＝﹣（
x
﹣
n
）
2
﹣2
n
+1图象的“
n
阶方点”一定存在，请直接写出
n
的取值范围．
【
例3】
（2022春•芙蓉区校级期末）在
y
关于
x
的函数中，对于实数
a
，
b
，当
a
≤
x
≤
b
且
b
＝
a
+3时，函数
y
有最大值
y
max
，最小值
y
min
，设
h
＝
y
max
﹣
y
min
，则称
h
为
y
的“极差函数”（此函数为
h
关于
a
的函数）；特别的，当
h
＝
y
max
﹣
y
min
为一个常数（与
a
无关）时，称
y
有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”．
①
y
＝2
x
（
）；
②
y
＝﹣2
x
+2 （
）；
③
y
＝
x
2
（
）．
（2）
y
关于
x
的一次函数
y
＝
px
+
q
，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”
h
＝3，求一次函数解析式；
（3）若
，当
a
≤
x
≤
b
（
b
＝
a
+3）时，写出函数
y
＝
ax
2
﹣
bx
+4的“极差函数”
h
；并求4
ah
的取值范围．
【压轴题】专题22二次函数与新定义综合问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习
