【专项突破】专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题 函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定定理列出方程，并求出未知数。 （2022·山东枣庄·统考中考真题） 如图①，已知抛物线 L ： y ＝ x 2 + bx + c 的图象经过点 A （0，3）， B （1，0），过点 A 作 AC x 轴交抛物线于点 C ，∠ AOB 的平分线交线段 AC 于点 E ，点 P 是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE 、 PO ，当△ OPE 面积最大时，求出 P 点坐标； (3)将抛物线 L 向上平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ OAE 内（包括△ OAE 的边界），求 h 的取值范围； (4)如图②， F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P ，使△ POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过 P 作 PG y 轴，交 OE 于点 G ，设 P （ m ， m 2 ﹣4 m +3），根据 OE 的解析式表示点 G 的坐标，表示 PG 的长，根据面积和可得△ OPE 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与 OE 的交点坐标、与 AE 的交点坐标，用含 h 的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出 h 的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△ OMP ≌△ PNF ，根据| OM |＝| PN |，列方程可得点 P 的坐标；同理可得其他图形中点 P 的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为： y ＝ x 2 ﹣4 x +3 (2) P 点坐标为（ ， ） (3) h 的取值范围为3≤ h ≤4 (4)存在，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ） 【详解】（1）解：∵抛物线 L ： y ＝ x 2 + bx + c 的图象经过点 A （0，3）， B （1，0）， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为： y ＝ x 2 ﹣4 x +3； （2）如图1，过 P 作 PG y 轴，交 OE 于点 G ， 设 P （ m ， m 2 ﹣4 m +3）， ∵ OE 平分∠ AOB ，∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOE ＝45°， ∴△ AOE 是等腰直角三