【压轴题】专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题 二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有： 模型1： 当两定点 A 、 B 在直线 l 同侧时，在直线 l 上找一点 P ，使得 PA ＋ PB 最小． 作点 B 关于直线 l 的对称点 B '，连接 AB '交直线 l 于点 P ，点 P 即为所求作的点． PA ＋ PB 的最小值为 AB ' 模型2： 当两定点 A 、 B 在直线 l 同侧时，在直线 l 上找一点 P ，使得 最大． 连接 AB 并延长交直线 l 于点 P ，点 P 即为所求作的 点， 的最大值为 AB 模型3： 当两定点 A 、 B 在直线 l 异侧时，在直线 l 上找一点 P ，使得 最大． 作点 B 关于直线 I 的对称点 B '，连接 AB '并延长交直线 l 于点 P ，点 P 即为所求作的点． 的最大值为 AB ' 模型4： 点 P 在 ∠ AOB 内部，在 OB 边上找点 D ， OA 边上找点 C ，使得 △ PCD 周长最小． 分别作点 P 关于 OA 、 OB 的对称点 P ′ 、 P ″ ，连接 P ′ P ″ ，交 OA 、 OB 于点 C 、 D ，点 C 、 D 即为所求． △ PCD 周长的最小值为 P ′ P ″ 模型5： 点 P 在 ∠ AOB 内部，在 OB 边上找点 D ， OA 边上找点 C ，使得 PD ＋ CD 最小． 作点 P 关于 OB 的对称点 P ′ ，过 P ′ 作 P ′ C ⊥ OA 交 OB ， PD ＋ CD 的最小值为 P ′ C 【 例1 】 （2022•黑龙江）如图，已知抛物线 y ＝ （ x ﹣2）（ x + a ）（ a ＞0）与 x 轴交于点 B 、 C ，与 y 轴交于点 E ，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线过点 M （﹣2，﹣2），求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ① 求出△ BCE 的面积； ② 在抛物线的对称轴上找一点 H ，使 CH + EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标． 【 例2 】 （2022•甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ （ x +3）（ x ﹣ a ）与 x 轴交于 A ， B （4，0）两点，点 C 在 y 轴上，且 OC ＝ OB ， D ， E 分别是线段 AC ， AB 上的动点（点 D ， E 不与点 A ， B ， C 重合）． （1）求此抛物线的表达式； （2）连接 DE 并延长交抛物线于点 P ，当 DE ⊥ x 轴，且 AE ＝1时，求 DP 的长； （3）连接 BD ． ① 如图2，将△ BCD 沿 x 轴翻折得到△ BFG ，当点 G 在抛物线上时，求点 G 的坐标； ② 如图3，连接 CE ，当 CD ＝ AE 时，求 BD + CE 的最小值． 【 例3 】 ．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y ＝ ax 2 + bx +2的图象经过点 A （﹣1，0）， B （3，0）