【专项突破】专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用 分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想： 1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况； 2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论； 3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论； 4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论； 5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。 （2022·辽宁阜新·统考中考真题） 如图，已知二次函数 的图像交 轴于点 ， ，交 轴于点 ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图 ，点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 向点 运动，点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 向点 运动，点 ， 同时出发．设运动时间为 秒（ ）．当 为何值时， 的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知 是抛物线上一点，在直线 上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 坐标；若不存在，请说明理由． （ 1 ） 用待定系数法可求得二次函数的表达式为； （ 2 ） 过点 作 轴于点 ，设 面积为 ，由 ， ，可得 ， ，即得 ，由二次函数性质可得当 秒时， 的面积最大，求得其最大面积； （ 3 ） 由 ， 得直线 解析式为 ，设 ， ，分三种情况进行讨论求解． 【答案】(1) (2)当 时， 的面积最大，最大面积是 (3)存在， 的坐标为 或 或 或 【详解】（1）将点 ， 代入 中， 得 ， 解这个方程组得 ， 二次函数的表达式为 ； （2）过点 作 轴于点 ，如图： 设 面积为 ， 根据题意得： ， ． ， ， 在 中，令 得 ， ， ， ． ， ， ， 当 时， 的面积最大，最大面积是 ； （3）存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由 ， 得直线 解析式为 ， 设 ， ，又 ， ， 当 ， 是对角线，则 ， 的中点重合， ， 解得 与 重合，舍去 或 ， ； 当 ， 为对角线，则 ， 的中点重合， ， 解得 舍去 或 ， ； 当 ， 为对角线，则 ， 的中点重合， ， 解得 或 ， 或 ， 综上所述， 的坐标为 或 或 或 ． 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． （2022·湖南湘潭·统考中考真题） 已知抛物线 ． (1)如图①，若抛物线图