【专项突破】专题07 几何图形的旋转变换问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题07 几何图形的旋转变换问题 几何图形的旋转变换在中考压轴题中的考查非常频繁。 旋转变换的性质 ： 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化 。 在解决旋转变换的题目时，不仅要把握旋转的性质和几何图形的性质外，还要求考生能够在图形变换中找到不变的量，通过转化等数学思想，将未知条件转化为已知条件，陌生模型转化为熟悉模型。 （2022·山东菏泽·统考中考真题） 如图1，在 中， 于点 D ，在 DA 上取点 E ，使 ，连接 BE 、 CE ． (1)直接写出 CE 与 AB 的位置关系； (2)如图2，将 绕点 D 旋转，得到 （点 ， 分别与点 B ， E 对应），连接 ，在 旋转的过程中 与 的位置关系与（1）中的 CE 与 AB 的位置关系是否一致?请说明理由； (3)如图3，当 绕点 D 顺时针旋转30°时，射线 与 AD 、 分别交于点 G 、 F ，若 ，求 的长． （1）由等腰直角三角形的性质可得∠ ABC =∠ DAB =45°，∠ DCE =∠ DEC =∠ AEH =45°，可得结论； （2）通过证明 ，可得 ，由余角的性质可得结论； （3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得 ，即可求解． 【答案】(1) CE ⊥ AB ，理由见解析 ； (2)一致，理由见解析 ； (3) 【详解】（1）如图，延长 CE 交 AB 于 H ， ∵∠ ABC =45°， AD ⊥ BC ， ∴∠ ADC =∠ ADB =90°，∠ ABC =∠ DAB =45°， ∵ DE = CD ， ∴∠ DCE =∠ DEC =∠ AEH =45°， ∴∠ BHC =∠ BAD +∠ AEH =90°， ∴ CE ⊥ AB ； （2）在 旋转的过程中 与 的位置关系与（1）中的 CE 与 AB 的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长 交 于 H ， 由旋转可得： CD = ， = AD ， ∵∠ ADC =∠ ADB =90°， ∴ ， ∵ ， ∴ , ， ∵ +∠ DGC =90°，∠ DGC =∠ AGH ， ∴∠ DA +∠ AGH =90°， ∴∠ AHC =90°， ； （3）如图3，过点 D 作 DH 于点 H ， ∵△ BED 绕点 D 顺时针旋转30°， ∴ ， ， ， ∴ AD =2 DH ， AH = DH = ， ， 由（2）可知： ， ， ∵ AD ⊥ BC ， CD = ， ∴ DG =1， CG =2 DG =2， ∴ CG = FG =2， ， ∴ AG =2 GF =4， ∴ AD = AG + DG =4+1=5， ∴ ． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． （2022·辽宁锦州·统考中考真题） 如图，在 中， ， D ， E ， F 分别为 的中点，连接 ．