【解题大招】模型16 胡不归最值问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 【模型总结】 在求形如“ P B + kP A ”的式子的最值问题中，关键是构造与 kP A 相等的线段，将“ P B + kP A ”型问题转化为“ P B + PC ”型． 而这里的 P A 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kP A 的等线段． 【问题】 如图 ，点 P 为射线 l 上 的 一动点， A、B 为定点 ， 求 P B + kP A 的 最小值 . 【问题 解决 】 构造射线 AD 使得 sin α= k ， PC / PA = k ， CP = kAP ． l D D 将问题转化为求 PB + PC 最小值，过 B 点作 BC ⊥ AD 交 l 于点 P ，交 AD 于 C 点，此时 PB + PC 取到最小值，即 PB + kPA 最小． 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10，tan A ＝2， BE ⊥ AC 于点 E ， D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD + BD 的最小值是 　　 ． 变式训练 【变式1-1】 ．如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°，则 AB ＝2 BC ．请在这一结论的基础上继续思考：若 AC ＝2，点 D 是 AB 的中点， P 为边 CD 上一动点，则 AP + CP 的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝4，sin A ＝ ， BD ⊥ AC 交 AC 于点 D ．点 P 为线段 BD 上的动点，则 PC + PB 的最小值为 　　 ． 【变式1-3】 ．如图，△ ABC 在直角坐标系中， AB ＝ AC ， A （0，2 ）， C （1，0）， D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A → D → C ，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为________. 【例2】 ．如图， ▱ ABCD 中∠ A ＝60°， AB ＝6， AD ＝2， P 为边 CD 上一点，则 PD +2 PB 最小值为 　　 ． 变式训练 【变式2-1】 ．如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ AC ＝10，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，点 M 在线段 AC 上，且 AM ＝3，点 P 为线段 BD 上的一个动点，则 MP + PB 的最小值是 　　 ． 【变式2-2】 ．如图， AC 是 ⊙ O 直径， AC ＝4，∠ BAC ＝30°，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 DB + OD 的最小值为 　　 ． 【变式2-3】 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ 的顶点为 A 点，且与 x 轴的正半轴交于点 B ， P 点是该抛物线对称轴上的一点，则 OP + AP 的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 实战演练 实战演练 1．如图，在△ ABC 中，∠ A ＝90°，∠ B ＝60°， AB ＝2，若 D 是 BC 边上的动点，则2 AD + DC 的最小值是（　　） A．2 +6 B．