2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题30代数中的新定义问
题
【
例1】
（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数
N
，若
N
能被它的各数位上的数字之和
m
整除，则称
N
是
m
的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数
A
是12的“和倍数”，
a
，
b
，
c
分别是数
A
其中一个数位上的数字，且
a
＞
b
＞
c
．在
a
，
b
，
c
中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为
F
（
A
），最小的两位数记为
G
（
A
），若
为整数，求出满足条件的所有数
A
．
【
例2】
（2022秋•西城区校级期中）将
n
个0或1排列在一起组成了一个数组，记为
A
＝（
t
1
，
t
2
，…
t
n
），其中，
t
1
，
t
2
，…，
t
n
都取0或1，称
A
是一个
n
元完美数组（
n
≥2且
n
为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于
x
和
y
，
x
*
y
＝（
x
+
y
）﹣|
x
﹣
y
|，
新运算2：对于任意两个
n
元完美数组
M
＝（
x
1
，
x
2
，…，
x
n
）和
N
＝（
y
1
，
y
2
，…，
y
n
），
M
⊗
N
（
x
1
*
y
1
+
x
2
*
y
2
+…+
x
n
*
y
n
），例如：对于3元完美数组
M
＝（1，1，1）和
N
＝（0，0，1），有
M
⊗
N
（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有：
；
（2）设
A
＝（1，0，1），
B
＝（1，1，1），则
A
⊗
B
＝
；
（3）已知完美数组
M
＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组
N
，使得
M
⊗
N
＝2；
（4）现有
m
个不同的2022元完美数组，
m
是正整数，且对于其中任意的两个完美数组
C
，
D
满足
C
⊗
D
＝0；则
m
的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【
例3】
（2022秋•茅箭区校级月考）对
x
，
y
定义一种新运算
T
，规定
T
（
x
，
y
）
（其中
a
，
b
是非零常数，且
x
+
y
≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：
T
（3，1）
，
T
（
m
，﹣2）
．
（1）填空：
T
（4，﹣1）＝
（用含
a
，
b
的代数式表示）；
（2）若
T
（﹣2，0）＝﹣2，且
T
（5，﹣1）＝6．
①
求
a
与
b
的值；
②
若
T
（3
m
﹣10，﹣3
m
）＝
T
（﹣3
m
，3
m
﹣1
【压轴题】专题30代数中的新定义问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习
