【解题大招】模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模型 平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模型 大 招 大 招 模型介绍 模型介绍 模型一：猪蹄与锯齿模型 【模型结论】 如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B； ②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3； ③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【 证明 】：（1）∠ APB ＝∠ A +∠ B 这个结论正确，理由如下 如图1，过点 P 作 PQ ∥ AM ， ∵ PQ ∥ AM ， AM ∥ BN ，∴ PQ ∥ AM ∥ BN ，∴∠ A ＝∠ APQ ，∠ B ＝∠ BPQ ， ∴∠ A +∠ B ＝∠ APQ +∠ BPQ ＝∠ APB ，即：∠ APB ＝∠ A +∠ B ． （2）根据（1）中结论可得，∠ A +∠ B +∠ P 2 ＝∠ P 1 +∠ P 3 ， 故答案为：∠ A +∠ B +∠ P 2 ＝∠ P 1 +∠ P 3 ， （3）由（2）的规律得，∠ A +∠ B +∠ P 2 +…+ P 2 n ＝∠ P 1 +∠ P 3 +∠ P 5 +…+∠ P 2 n +1 故答案为：∠ A +∠ B +∠ P 2 +…+ P 2 n ＝∠ P 1 +∠ P 3 +∠ P 5 +…+∠ P 2 n +1 【模型辨析】 ① 注意：拐角为左右依次排列 ② 若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°； 如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。 【 证明 】在图1中，∵ AB ∥ CD ，∴∠1+∠2＝180°； 在图2中，过 E 作 AB 的平行线 EF ，∵ AB ∥ CD ，∴ EF ∥ CD ， ∴∠1+∠ AEF ＝180°，∠3+∠ CEF ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图3中，过 E 作 AB 的平行线 EN ，过点 F 作 AB 的平行线 FM ， ∵ AB ∥ CD ，∴ EN ∥ CD ∥ FM ，∴∠1+∠ AFM ＝180°，∠ MFE +∠ FEN ＝180°， ∠ NEC +∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°； 在图4中，过各角的顶点依次作 AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠ n ＝（ n ﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分. 例题精讲 例题精讲 考点一：猪蹄模型 【例1】 ．如图，直线 AB ∥ CD ，∠ C ＝44°，∠ E 为直角，则∠1等于（　　） A．132° B．134° C．136° D．138° 变式训练 【变式1-1】．如图，∠ BCD ＝90°， AB ∥ DE ，则α与β一定满足的等式是（　　） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【变式1-2】．如图， AB ∥ CD ，∠ ABN ＝ ∠ NBM ，∠ CDN ＝ ∠ MDN ，∠ M ＝160°，则∠ N ＝ 　 　 ． 【变式1-3】．如图， AB ∥ CD ， M 在 AB 上， N 在 CD 上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　 　 ．