【压轴题】专题4二次函数与相似问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题4二次函数与相似问题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 相似三角形常见的判定方法： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 判定定理 “两边及其夹角法” 是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验． 如果已知 ∠ A ＝ ∠ D ，探求 △ ABC 与 △ DEF 相似，只要把夹 ∠ A 和 ∠ D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程． 应用判定定理 “两角法” 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理 “三边法” 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 【 例1 】 （2022•贵港）如图，已知抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 经过 A （0，3）和 B （ ，﹣ ）两点，直线 AB 与 x 轴相交于点 C ， P 是直线 AB 上方的抛物线上的一个动点， PD ⊥ x 轴交 AB 于点 D ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若 PE ∥ x 轴交 AB 于点 E ，求 PD + PE 的最大值； （3）若以 A ， P ， D 为顶点的三角形与△ AOC 相似，请直接写出所有满足条件的点 P ，点 D 的坐标． 【 例2 】 ．（2022•衡阳）如图，已知抛物线 y ＝ x 2 ﹣ x ﹣2交 x 轴于 A 、 B 两点，将该抛物线位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 W ”，图象 W 交