【几何模型解密】专题07 一线三垂直与一线三等角（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题07 一线三垂直 与一线三等角 一、基础知识回顾 1）三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于180° 2） 1平角=180度  二、 模型的概述： 1 ）一线三垂直模型 [模型概述 ] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 构造1 构造2 一线三垂直模型一： 如图A B ⊥B C ， AB=BC ，C E ⊥ DE ，A D ⊥ DE ，则 ∆ABD ≌ ∆BCE ，D E=AD+EC 证明：∵ C E ⊥ DE ，A D ⊥ DE ，A B ⊥B C ∴∠C EB= ∠A DB= ∠A BC = 90 ° ∴ ∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 在 ∆ABD 和 ∆BCE 中， ∠1=∠3 ∠C EB= ∠A DB = 90 ° ∴ ∆ABD ≌ ∆BCE （A AS ） ∴A D=BE,EC=BD AB=BC 则 D E=BE+BD= A D+ EC 一线三垂直模型二： 如图A B ⊥B C ， AB=BC ，C E ⊥ DE ，A D ⊥ DE ，则 ∆ABD ≌ ∆BCE ，D E=AD-EC 证明：∵ C E ⊥ DE ，A D ⊥ DE ，A B ⊥B C ∴∠C EB= ∠A DB= ∠A BC = 90 ° ∴ ∠ A +∠ ABD =90°，∠ ABD +∠ CBE =90° ∴∠ A =∠ CBE 在 ∆ABD 和 ∆BCE 中， ∠ A =∠ CBE ∠C EB= ∠A DB = 90 ° ∴ ∆ABD ≌ ∆BCE （A AS ） ∴A D=BE,EC=BD AB=BC 则 D E=BE-BD= A D- EC 一线三垂直其它模型 1）图1，已知∠ AOC = ∠ ADB= ∠ CED=90 °，A B=DC ，得 ∆ADB ≌ ∆DEC 2）图2，延长D E 交A C 于点F，已知∠ DBE = ∠ ABC= ∠ EFC=90 °，A C=DE ，得 ∆ABC ≌ ∆DBE 图1 图2 2）一线三等角模型 [模型概述 ] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠ A =∠ CPD =∠ B =∠ α ，C P=PD （异侧）已知∠E AC =∠ ABD =∠ DPC =∠ α ，C P=PD 证明： 以右图为例 ∵∠ ACP+ ∠ A+ ∠ CPA=180 °， ∠ DPB+ ∠ CPD+ ∠ CPA=180 °而∠ CAP =∠ CPD =∠ PBD =∠ α ∴∠ ACP= ∠ DPB 又∵C P=PD ∴ ∆ACP ≌ ∆BPD （A AS ） 【基础过关练】 1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（       ） A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm 2 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝9，点 E 在边 AC 上， AE 的中垂线交 BC 于点 D ，若∠ ADE ＝∠ B ， C