专题07
一线三垂直
与一线三等角
一、基础知识回顾
1)三角形内角和定理:
三角形三个内角和等于180°
2)
1平角=180度
二、
模型的概述:
1
)一线三垂直模型
[模型概述
]
只要出现等腰直角三角形,可以过直角点作一条直线,然后过45°顶点作直线的垂线,构造三垂直,所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边,得到线段之间的数量关系。
基础
构造1
构造2
一线三垂直模型一:
如图A
B
⊥B
C
,
AB=BC
,C
E
⊥
DE
,A
D
⊥
DE
,则
∆ABD
≌
∆BCE
,D
E=AD+EC
证明:∵
C
E
⊥
DE
,A
D
⊥
DE
,A
B
⊥B
C
∴∠C
EB=
∠A
DB=
∠A
BC
=
90
°
∴
∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3
在
∆ABD
和
∆BCE
中,
∠1=∠3
∠C
EB=
∠A
DB
=
90
°
∴
∆ABD
≌
∆BCE
(A
AS
)
∴A
D=BE,EC=BD
AB=BC
则
D
E=BE+BD=
A
D+ EC
一线三垂直模型二:
如图A
B
⊥B
C
,
AB=BC
,C
E
⊥
DE
,A
D
⊥
DE
,则
∆ABD
≌
∆BCE
,D
E=AD-EC
证明:∵
C
E
⊥
DE
,A
D
⊥
DE
,A
B
⊥B
C
∴∠C
EB=
∠A
DB=
∠A
BC
=
90
°
∴
∠
A
+∠
ABD
=90°,∠
ABD
+∠
CBE
=90° ∴∠
A
=∠
CBE
在
∆ABD
和
∆BCE
中,
∠
A
=∠
CBE
∠C
EB=
∠A
DB
=
90
°
∴
∆ABD
≌
∆BCE
(A
AS
)
∴A
D=BE,EC=BD
AB=BC
则
D
E=BE-BD=
A
D- EC
一线三垂直其它模型
1)图1,已知∠
AOC =
∠
ADB=
∠
CED=90
°,A
B=DC
,得
∆ADB
≌
∆DEC
2)图2,延长D
E
交A
C
于点F,已知∠
DBE =
∠
ABC=
∠
EFC=90
°,A
C=DE
,得
∆ABC
≌
∆DBE
图1
图2
2)一线三等角模型
[模型概述
]
三个等角的顶点在同一条直线,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。
一线三等角类型:
(同侧)已知∠
A
=∠
CPD
=∠
B
=∠
α
,C
P=PD
(异侧)已知∠E
AC
=∠
ABD
=∠
DPC
=∠
α
,C
P=PD
证明:
以右图为例
∵∠
ACP+
∠
A+
∠
CPA=180
°,
∠
DPB+
∠
CPD+
∠
CPA=180
°而∠
CAP
=∠
CPD
=∠
PBD
=∠
α
∴∠
ACP=
∠
DPB
又∵C
P=PD
∴
∆ACP
≌
∆BPD
(A
AS
)
【基础过关练】
1.如下图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.DE=6cm,AD=9cm,则BE的长是(
)
A.6cm
B.1.5cm
C.3cm
D.4.5cm
2
.如图,在△
ABC
中,
AB
=
AC
=9,点
E
在边
AC
上,
AE
的中垂线交
BC
于点
D
,若∠
ADE
=∠
B
,
C
【几何模型解密】专题07 一线三垂直与一线三等角(含解析)-2024年中考数学一轮复习满分突破(全国通用)