1
．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
例
．如图所示，有一正方体纸盒，在点
C
1
处有一只小虫，它要爬到点
A
吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？
解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接
AC
1
，则
AC
1
就是行程最短的路线．
2.赵爽弦图模型
我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边
a
、
b
与斜边
c
满足关系式
a
2
+
b
2
＝
c
2
．称为勾股定理．
把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论
证明
：由图2得，大正方形面积＝4×
＝（
a
+
b
）
2
，
整理得
b
2
+
c
2
+2
ab
＝2
ab
+
c
2
，
∴
c
2
＝
a
2
+
b
2
，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
例题精讲
例题精讲
考点一：行程最短问题
【
例1
】
．如图，有一个圆柱，它的高等于16
cm
，底面半径等于4
cm
，在圆柱下底面的
A
点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与
A
点相对的
B
点处的食物，需要爬行的最短路程是
cm
．（
π
取3）
变式训练
【
变式1-1
】
．如图，圆锥的底面圆的半径为10
cm
，母线长为40
cm
，
C
为母线
PA
的中点，一只蚂蚁欲从点
B
处沿圆锥的侧面爬到点
C
处，则它爬行的最短距离是
cm
．
【
变式1-2
】
．如图，一只蚂蚁从长为7
cm
、宽为5
cm
，高是9
cm
的长方体纸箱的
A
点沿纸箱爬到
B
点，那么它所走的最短路线的长是
cm
．
【
变式1-3
】
．
如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，
A
，
B
是这个台阶上两个相对的端点，
A
点有一只蚂蚁，想到
B
点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到
B
点最短路程是
米．
考点二：弦图模型的应用
【
例2
】
．
如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形
EFGH
拼成的大正方形
ABCD
．若
AE
＝5，
AB
＝13，则中间小正方形
EFGH
的面积是
．
变式训练
【
变式2-1
】
．如图1是
【解题大招】模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
