【专题复习】专题十 圆的综合问题（55题140页）（含解析）-2024年中考数学二轮复习（全国适用）

专题十 圆的综合问题 一、 非动态问题 例题 1 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ． (1) 求证： 是 的切线． (2) 求证： ． (3) 若 ， ，求 的半径长． 练习题 1 ．在 △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ，以 BC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D ． (1) 如图 ① ，以点 B 为圆心， BC 为半径作圆弧交 AB 于点 M ，连结 CM ，若 ∠ ABC ＝ 66° ，求 ∠ ACM ； (2) 如图 ② ，过点 D 作 ⊙ O 的切线 DE 交 AC 于点 E ，求证： AE ＝ EC ； (3) 如图 ③ ，在（ 1 ）（ 2 ）的条件下，若 tanA ＝ ，求 S △ ADE ： S △ ACM 的值． 2 ．如图 1 ，在 Rt △ ABC 中， ，以 BC 为直径的 交斜边 AB 于点 M ，若 H 是 AC 的中点，连接 MH ． (1) 求证： MH 为 的切线． (2) 若 ， ，求 的半径． (3) 如图 2 ，在（ 2 ）的条件下分别过点 A 、 B 作 的切线，两切线交于点 D ， AD 与 相切于点 N ，过 N 点作 ，垂足为 E ，且交 于 Q 点，求线段 AO 、 CN 、 NQ 的长度． 3 ．如图，点 P 在 y 轴的正半轴上， 交 x 轴于 B 、 C 两点，以 AC 为直角边作等腰 Rt △ ACD ， BD 分别交 y 轴和 于 E 、 F 两点，连接 AC 、 FC ， AC 与 BD 相交于点 G ． (1) 求证： ； (2) 求证： ； (3) ______° ； (4) 若 ， ，则 △ GDC 的面积为 ______ ． 4 ．如图，四边形 内接于半圆 ， 是半圆 的直径， 是半圆 的切线， 交 的延长线于点 ， ， 与 相交于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ． (1) 求证： ． (2) 探究 与 的数量关系． (3) 求 的值． 5 ．【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距． 【数学理解】如图 ① ，在 中， AB 是弦， ，垂足为 P ，则 OP 的长是弦 AB 的弦心距． (1) 若 的半径为 5 ， OP 的长为 3 ，则 AB 的长为 ______ ． (2) 若 的半径确定，下列关于 AB 的长随着 OP 的长的变化而变化的结论： ① AB 的长随着 OP 的长的增大而增大； ② AB 的长随着 OP 的长的增大而减小； ③ AB 的长与 OP 的长无关． 其中所有正确结论的序号是 ______ ． (3) 【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为 ______° ． (4) 已知如图 ② 给定的线段 EF 和 ，点 Q 是 内一定点．过点 Q 作弦 AB ，满足 ，请问这样的弦可以作 ______ 条． 6 ．已知 为 的外接圆， ． (1) 如图 1 ，延长 至点 ，使 ，连接 ． ① 求证： 为直角三角形； ② 若 的半径为 4 ， ，求 的值； (2) 如图 2 ，若 ， 为 上的一点，且点 ， 位于