【压轴题】专题13二次函数与胡不归型最值问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题13二次函数与胡不归型最值问题 胡不归问题： 模型分析： “PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路． 如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k． 过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长． 证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D． 由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB． 所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证． 【 例1 】 （2022•济南）抛物线 y ＝ ax 2 + x ﹣6与 x 轴交于 A （ t ，0）， B （8，0）两点，与 y 轴交于点 C ，直线 y ＝ kx ﹣6经过点 B ．点 P 在抛物线上，设点 P 的横坐标为 m ． （1）求抛物线的表达式和 t ， k 的值； （2）如图1，连接 AC ， AP ， PC ，若△ APC 是以 CP 为斜边的直角三角形，求点 P 的坐标； （3）如图2，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 P 作 PQ ⊥ BC ，垂足为 Q ，求 CQ + PQ 的最大值． 【 例2 】 （2022•宜宾）如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 A （3，0）、 B （﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，3），其顶点为点 D ，连结 AC ． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 D 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点 E ，点 F 为抛物线上一动点，使得以点 A 、 C 、 E 、 F 为顶点、 AC 为边的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标； （3）在（2）的条件下，将点 D 向下平移5个单位得到点 M ，点 P 为抛物线的对称轴上一动点，求 PF + PM 的最小值． 【 例3 】 （2022•东西湖区模拟）如图1，抛物线 y ＝ x 2 +（ m ﹣2） x ﹣2 m （ m ＞0）与 x 轴交于 A ， B 两点（ A 在 B 左边），与 y 轴交于点 C ．连接 AC ， BC ．且△ ABC 的面积为8． （1）求 m 的值； （2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点 T ， T 的横坐标为 t ，使∠ ATC ＝60°．求（ t ﹣1） 2 的值． （3）如图2，点 P 为 y 轴上一个动点，连接 AP ，求 CP + AP 的最小值，并求出此时点 P 的坐标． 【 例4 】 （2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0）的图象与 y 轴， x 轴分别相交于 A （0，2）， B （2，0）， C （4，0）三点，点 D 是二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式； （