2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题31三角形与新定义综合问题
【
例1】
（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（
can
），如图1，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，底角∠
B
的邻对记作
canB
，这时
canB
＝
＝
．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）
can
30°＝
，若
canB
＝1，则∠
B
＝
°．
（2）如图2，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
canB
＝
，
S
△
ABC
＝48，求△
ABC
的周长．
【
例2】
（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△
ABC
，
CD
⊥
AB
于点
D
，
AB
＝
CD
，则△
ABC
为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“√”，错的打“×”．
（1）等腰直角三角形是标准三角形．
（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为
．
【概念应用】
（1）如图，若△
ABC
为标准三角形，
CD
⊥
AB
于点
D
，
AB
＝
CD
＝1，求
CA
+
CB
的最小值．
（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的
倍，求最小角的正弦值．
【
例3】
（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，
AM
、
BN
是
ABC
的中线，
AM
⊥
BN
于点
P
，像
ABC
这样的三角形均为“中垂三角形”．设
BC
＝
a
，
AC
＝
b
，
AB
＝
c
．
【特例探究】
（1）如图1，当∠
PAB
＝45°，
c
＝
时，
a
＝
，
b
＝
；如图2，当∠
PAB
＝30°，
c
＝2时，
a
2
+
b
2
＝
；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想
a
2
、
b
2
、
c
2
三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，在
▱
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AD
、
BC
的三等分点，且
AD
＝3
AE
，
BC
＝3
BF
，连接
AF
、
BE
、
CE
，且
BE
⊥
CE
于
E
，
AF
与
BE
相交点
G
，
AD
＝3
，
AB
＝3，求
AF
的长．
【
例4】
（2020•岳麓区校级二模）定义：在△
ABC
中，若有两条中线互相垂直，则称△
ABC
为中垂三角形，并且把
AB
2
+
BC
2
+
CA
2
叫做△
ABC
的方周长，记作
L
，即
L
＝
AB
2
+
BC
2
+
CA
2
．
（1）如图1，已知△
ABC
是中垂三角形
【压轴题】专题31三角形与新定义综合问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习
