【专项突破】专题09 几何中的最值问题问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题09 几何中的最值问题 几何压轴题中的最值问题，是历年各地中考中的高频考点，其主要类型包括面积的最值问题、线段的最值问题、角度的最值问题，由于面积的最值问题在上一个专题中已有涉及，所以本主题主要探究的是线段的有关最值问题 。 解决线段的最值问题，从方法上来说主要有几何法和函数法两大方法： 几何法：总的思路是对线段的最值问题进行转化，多数情况下当三点位于同一条直线上时，取得最值，理论依据主要是两点之间线段最短。再具体的考题中我们可以根据题目的图形、条件或者问题的问法等，再将最值问题进行细化，将问题抽象成我们常见的几种模型，从而使问题得到解决。例如抽象为：将军饮马模型、瓜豆原理、胡不归模型、费马点模型以及阿氏圆模型等。 函数法：可以利用坐标法，将所求的线段长度用坐标的方式表示出来，之后利用最值模型求解。 （2022·辽宁沈阳·统考中考真题） （1）如图1， 和 是等腰直角三角形， ，点 C 在 上，点 D 在线段 延长线上，连接 ， ．线段 与 的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的 绕点 O 顺时针旋转 （ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图3，若 ，点 C 是线段 外一动点， ，连接 ， ①若将 绕点 C 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最大值______； ②若以 为斜边作 ，（ B 、 C 、 D 三点按顺时针排列）， ，连接 ，当 时，直接写出 的值． （1）由题意易得 ， ， ，然后可证 ，进而问题可求解； （2）由题意易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求证； （3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得 ，则当 A 、 C 、 D 三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点 C 作 于点 E ，连接 ，过点 B 作 于点 F ，然后可得点 C 、 D 、 B 、 E 四点共圆，则有 ，设 ， ，则 ， ， ，进而根据勾股定理可进行方程求解． 【答案】（1） ；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）① ，② ． 【详解】解：（1） ，理由如下： ∵ 和 是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 故答案为： ； （2）结论仍成立，理由如下： ∵ 和 是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ； （3）①如图， 由题意得： ， ， 根据三角不等关系可知： ， ∴当 A 、 C 、 D 三点共线时取最大， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 的最大值为 ； ②过点 C 作 于点 E ，连接 ，过点 B 作 于点 F ，如图所示： ∴ ， ∴点 C 、 D 、 B 、 E 四点共圆， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ， ，则 ，