【解题大招】专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 一 、 如图，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（4,3），在 x 轴上取点 C 使得 △ ABC 是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 AB = AC ； （2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 BA = BC ； （3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C ，有 CA = CB ． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求 ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A 、 B 均往下移一个单位，当点 A 坐标为（1,0），点 B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 而对于本题的 ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点 坐标为（ m ，0），又 A 点坐标（1,1）、 B 点坐标（4,3）， （2）表示线段： ， （3）分类讨论：根据 ，可得： ， （4）求解得答案：解得： ，故 坐标为 ． 小结 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、 C ； （2） 由点坐标表示出三条线段： AB 、 AC 、 BC ； （3）根据题意要求取 ① AB = AC 、 ② AB = BC 、 ③ AC = BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 二、 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点 C 使得 △ ABC 是直角三角形，求点 C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若 ∠ A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ； （2）若 ∠ B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ； （3）若 ∠ C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标， 求法相同，以 为例： 【构造三垂直】 求法相同，以 为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 例题精讲 例题精讲 考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题 【例1】． 如图