【解题大招】专题57 二次函数中的线段最值问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，已知抛物线 y ＝﹣ x 2 +2 x +3与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ，连接 BC ，点 P 是线段 BC 上方抛物线上一点，过点 P 作 PM ⊥ BC 于点 M ，求线段 PM 的最大值． 变式训练 【变1-1】． 如图，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 经过点 B （3，0）、 C （0，﹣2），直线 L ： y ＝﹣ x ﹣ 交 y 轴于点 E ，且与抛物线交于 A 、 D 两点， P 为抛物线上一动点（不与 A 、 D 重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 L 下方时，过点 P 作 PN ∥ y 轴交 L 于点 N ，求 PN 的最大值． （3）当点 P 在直线 L 下方时，过点 P 作 PM ∥ x 轴交 L 于点 M ，求 PM 的最大值． 【变1-2】． 如图，抛物线 y ＝ + mx + n 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D ，已知 A （﹣1，0）， C （0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段 BC 上有一动点 P ，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q ，求线段 PQ 的最大值． 【例2】． 已知：如图，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ， OA ＝ OC ＝3，顶点为 D ． （1）求此函数的关系式； （2）在对称轴上找一点 P ，使△ BCP 的周长最小，求出 P 点坐标； （3）在 AC 下方的抛物线上有一点 N ，过点 N 作直线 l ∥ y 轴，交 AC 与点 M ，当点 N 坐标为多少时，线段 MN 的长度最大？最大是多少？ 变式训练 【变2-1】． 如图1，在平面直角坐标系中，已知 B 点坐标为（1，0），且 OA ＝ OC ＝3 OB ，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0）图象经过 A ， B ， C 三点，其中 D 点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△ ADC 的形状并且求△ ADC 的面积； （3）如图2，点 P 是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过 P 点作 PE ⊥ AC 于 E 点，当 PE 的值最大时，求此时 P 点的坐标及 PE 的最大值． 【变2-2】 ．如图，二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0）的图象交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 D ，点 B 的坐标为（3，0），顶点 C 的坐标为（1，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在点 Q ，且点 Q 在第一象限，使△ BDQ 中 BD 边上的高为 ？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．