【专项突破】专题19 方程思想在压轴题中的应用（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题19 方程思想在压轴题中的应用 方程思想在中考压轴题中的应用非常广泛，主要表现在几何压轴题中的动点问题，几何、函数压轴题中的存在性问题以及面积问题和相似问题等。通过设出未知数，并用未知数表示出各线段的长度，再根据勾股定理、相似三角形的性质以及各几何图形的判定，列出方程，进行求解。 （2022·上海·统考中考真题） 平行四边形 ，若 为 中点， 交 于点 ，连接 ． (1)若 ， ①证明 为菱形； ②若 ， ，求 的长． (2)以 为圆心， 为半径， 为圆心， 为半径作圆，两圆另一交点记为点 ，且 ．若 在直线 上，求 的值． （1）①连接 AC 交 BD 于 O ，证△ AOE ≌△ COE (SSS)，得∠ AOE =∠ COE ，从而得∠ COE =90°，则 AC ⊥ BD ，即可由菱形的判定定理得出结论； ②先证点 E 是△ ABC 的重心，由重心性质得 BE =2 OE ，然后设 OE = x ，则 BE =2 x ，在 Rt △ AOE 中，由勾股定理，得 OA 2 = AE 2 - OE 2 =3 2 - x 2 =9- x 2 ,在 Rt △ AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 = AB 2 - OB 2 =5 2 -(3 x ) 2 =25-9 x 2 ,从而得9- x 2 =25-9 x 2 ，解得： x = ,即可得 OB =3 x =3 ，再由平行四边形性质即可得出 BD 长； （2）由⊙ A 与⊙ B 相交于 E 、 F ，得 AB ⊥ EF ，点 E 是△ ABC 的重心，又 在直线 上，则 CG 是△ ABC 的中线，则 AG = BG = AB ，根据重心性质得 GE = CE ＝ AE ， CG = CE + GE = AE ，在 Rt △ AGE 中，由勾股定理，得 AG 2 = AE 2 - GEE = AE 2 -( AE ) 2 = AE 2 ,则 AG = AE ,所以 AB =2 AG = AE ，在 Rt △ BGC 中，由勾股定理，得 BC 2 = BG 2 + CG 2 = AE 2 +（ AE ） 2 =5 AE 2 ，则 BC = AE ，代入即可求得 的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】 (1)①证明：如图，连接 AC 交 BD 于 O ， ∵平行四边形 ， ∴ OA = OC ， ∵ AE = CE ， OE = OE ， ∴△ AOE ≌△ COE (SSS)， ∴∠ AOE =∠ COE ， ∵∠ AOE +∠ COE =180°， ∴∠ COE =90°， ∴ AC ⊥ BD ， ∵平行四边形 ， ∴四边形 是菱形； ②∵ OA = OC ， ∴ OB 是△ ABC 的中线， ∵ 为 中点， ∴ AP 是△ ABC 的中线， ∴点 E 是△ ABC 的重心， ∴ BE =2 OE ， 设 OE = x ，则 BE =2 x ， 在 Rt △ AOE 中，由勾股定理，得 OA 2 = AE 2 - OE 2 =3 2 - x 2 =9- x 2 , 在 Rt △ AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 = AB 2 - OB 2 =5 2 -(3 x ) 2 =25-9 x 2 , ∴9- x 2 =25-9 x 2 ， 解得： x = , ∴ OB =3 x =3 ， ∵平行四边形 ， ∴ BD =2 OB =6 ； (2)解：如图， ∵⊙ A 与⊙ B 相交于 E 、 F ， ∴ AB ⊥ EF ， 由（1）②