【解题大招】专题72 三角形中的新定义问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

例题精讲 例题精讲 【例1】 ．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ sad ）．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，顶角 A 的正对记作 sadA ，这时 sadA ＝ ＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1） sad 60°＝ 　 　 ； （2）对于0°＜ A ＜180°，∠ A 的正对值 sadA 的取值范围是 　 　 ； （3）如图，已知cos A ＝ ，其中∠ A 为锐角，试求 sadA 的值． 变式训练 【变1-1】 ．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ ABC 是“倍角三角形”，∠ A ＝90°， BC ＝4，则△ ABC 的面积为 　 　 ． 【变1-2】 ．定义：如果三角形的两个内角 α 与 β 满足 α +2 β ＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． （1）如图1，△ ABC 中，∠ ACB ＝80°， BD 平分∠ ABC ． 求证：△ ABD 为“奇妙三角形” （2）若△ ABC 为“奇妙三角形”，且∠ C ＝80°．求证：△ ABC 是直角三角形； （3）如图2，△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ，若△ ABD 为“奇妙三角形”，且∠ A ＝40°，直接写出∠ C 的度数． 【例2】． 定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　 　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ ABC 是“准等边三角形”，其中∠ A ＝35°，∠ C ＞90°．求∠ B 的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°， ，点 D 在 AC 边上，若△ BCD 是“准等边三角形”，求 BD 的长． 变式训练 【变2-1】． 新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ ABC 中 AF 、 BE 是中线，且 AF ⊥ BE ，垂足为 P ，像△ ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ ABE ＝30°， AB ＝6，那么此时 AC 的长为 　 　 ． 【变2-2】． 【了解概念】 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线． 【理解运用】 （1）如图1，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝120°，试判断△ ABC 是否为半线三角形，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在△ AB