【压轴题】专题10二次函数与圆存在性问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题 10 二次函数与圆存在性问题 二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力 . 圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化 . 二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等 . 【例 1 】（ 2022 •闵行区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2 + bx +4 与 x 轴相交于点 A （﹣ 1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ），与 y 轴交于点 C ．将抛物线的对称轴沿 x 轴的正方向平移，平移后交 x 轴于点 D ，交线段 BC 于点 E ，交抛物线于点 F ，过点 F 作直线 BC 的垂线，垂足为点 G ． （ 1 ）求抛物线的表达式； （ 2 ）以点 G 为圆心， BG 为半径画 ⊙ G ；以点 E 为圆心， EF 为半径画 ⊙ E ． 当 ⊙ G 与 ⊙ E 内切时． ① 试证明 EF 与 EB 的数量关系； ② 求点 F 的坐标． 【例 2 】（ 2022 •福建模拟）如图，已知抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 与 x 轴相交于 A ， B 两点，点 C （ 2 ，﹣ 4 ）在抛物线上，且△ ABC 是等腰直角三角形． （ 1 ）求抛物线的解析式； （ 2 ）过点 D （ 2 ， 0 ）的直线与抛物线交于点 M ， N ，试问：以线段 MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【例 3 】（ 2022 •武汉模拟）已知抛物线 y ＝﹣ 2 x 2 + bx + c （ c ＞ 0 ）． （ 1 ）如图 1 ，抛物线与直线 l 相交于点 M （﹣ 1 ， 0 ）， N （ 2 ， 6 ）． ① 求抛物线的解析式； ② 过点 N 作 MN 的垂线，交抛物线于点 P ，求 PN 的长； （ 2 ）如图 2 ，已知抛物线 y ＝﹣ 2 x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A ， B ， C ， D （ 0 ， n ）四点在同一圆上，求 n 的值． 【例 4 】（ 2022 •上海模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2 ﹣ 3 ax +2 （ a ＜ 0 ）交 y 轴于点 A ，抛物线的对称轴交 x 轴于点 P ，联结 PA ． （ 1 ）求线段 PA 的长； （ 2 ）如果抛物线