【专项突破】专题15 函数中的面积问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题15 函数中的面积问题 函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而用坐标将三角形的底和高表达出来。如图， 。 （2022·内蒙古·中考真题） 如图，抛物线 经过 ， 两点，与 x 轴的另一个交点为 A ，与 y 轴相交于点 C ． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标； (2)若点 M 在直线 上方的抛物线上运动（与点 B ， C 不重合），求使 面积最大时 M 点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索） (3)设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 A ， B ， P ， Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．（请在图2中探索） （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作直线 BC ，过 M 点作 MN ∥ y 轴交 BC 于点 N ，求出直线 BC 的解析式，设 M （ m ，- + m + ），则 N （ m ，- m + ），可得 S △ MBC = • MN • OB = + ，再求解即可； （3）设 Q （0， t ）， P （ m ，- + m + ），分三种情况讨论：①当 AB 为平行四边形的对角线时；②当 AQ 为平行四边形的对角线时；③当 AP 为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可． 【答案】(1) ， (2) ，当 时， S 有最大值为 (3)满足条件的点 P 坐标为 ， ， 【详解】（1）解：把点 和 分别代入 可得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 把 代入 可得 ∴ ； （2）解：作直线 ，作 轴交直线 于点 N 设直线 的解析式为 （ ） 把点 和 分别代入 可得 解得 ∴直线 的解析式为 设点 M 的横坐标为 m ∴ ， ∴ ∴ （ ） ∴当 时， S 有最大值为 把 代入 可得 ∴ ； （3）解：当以 为边时，只要 ，且 即可 ∴点 P 的横坐标为4或-4 把 代入 可得 把 代入 可得 ∴此时 ， 当以 为对角线时，作 轴于点 H ∵四边形 是平行四边形 ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ∴ ∴ ∴点 P 的横坐标为2 把 代入 可得 ∴此时 综上所述，满足条件的点 P 坐标为 ， ， 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键 。 （2022·四川绵阳·统考中考真题） 如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点， 垂直 x 轴于点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)点 P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时点 P 的位置（不需证明），并