【达标突破】苏科版九年级下册数学 第7章 锐角三角函数 单元测试（C卷·拓展突破）（含解析）

第7章 锐角三角函数（ C卷·拓展突破 ） 单选题 （本大题共 1 0 小题， 每小题3分， 共 3 0 分） 1．计算 的值为（      ） A． B． C．1 D． 2．在△ ABC 中， ，若 ，则 （        ） A． B． C． D． 3．如图，在 中， ， ，点 D 是 AC 上一点，连接 BD ．若 ， ，则 CD 的长为（      ） A． B．3 C． D．2 4．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形 ABCD 中， ， M 是对角线 BD 上的一个动点， ，则 的最小值为（      ） A．1 B． C． D．2 6．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以原点为中心，将点 顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将 绕 点逆时针旋转到如图 的位置， 的对应点 恰好落在直线 上，连接 ，则 的长度为（      ） A． B． C．2 D． 8．如图，正方形 ABCD 的面积为3，点 E 在边 CD 上， 且 CE = 1，∠ ABE 的平分线交 AD 于点 F ，点 M ， N 分别是 BE ， BF 的中点，则 MN 的长为（     ） A． B． C． D． 9．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据： ， ） A．6米 B．3米 C．2米 D．1米 10． 由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COD ＝…＝∠ LOM ＝ 30 °．若 S △ AOB ＝ 1 ，则图中与△ AOB 位似的三角形的面积为 (     ) A． （ ） 3 B． （ ） 7 C． （ ） 6 D． （ ） 6 填空题 （本大题共 8 小题， 每小题4分， 共 32 分） 11． 计算： =________ ． 12．已知 是方程 的一个根， θ 是三角形的一个内角，那么cos θ 的值为________． 13．如图， B 为地面上一点，测得 B 到树底部 C 的距离为 ，在 B 处放置 高的测角仪 ，测得树顶 A 的仰角为 ，则树高 为___________m（结果保留根号）． 14．如图， CD 是平面镜，光线从 A 点出发经 CD 上点 O 反射后照射到 B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角）， AC ⊥ CD 于点 C ， BD ⊥ CD 于点 D ，且 AC ＝3， BD ＝6， CD ＝12，则tanα的值为_______． 15．如图，在四边形 中， ， 平分 ．若 ， ，则 ______． 16．已知 △ ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则 △ ABC的面积等于_____． 17．如图，对折矩形纸片 ，使得 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 的对应点 落在 上，并使折痕经过点 B ，得到折痕 ．连接 ，若 ， ，则 的长是____________ ． 18．如图， 是等边三角形，直线 经过它们的顶点 ，点 在 x 轴上，则点 的横坐标是____________. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 58 分） 19． （8分） 计算： 20． （8分） 已知：如图， BD 是 的高， ， ， ． （1）求 BD 和 AD 的长； （2）求 的值． 21． （10分） 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD的长． 22． （10分） 如图，在 中， ， 是 边上的中线，过点 作 ，垂足为点 ，若 ， ． (1) 求 的长； (2) 求 的正切值． 23． （10分） 如图，在 中， ， 是边 上的中线， 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．    求证： ∽ ； 求证： ； 若 ， ，求 的长． 24． （12分） 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树 BC 的高度，甲同学在点 A 测得大树顶端 B 的仰角为45°，乙同学从 A 点出发沿斜坡走6 米到达斜坡上点 D ，在此处测得树顶端点 B 的仰角为26.7°，且斜坡 AF 的坡度为1：2． (1) 求乙同学从点 A 到点 D 的过程中上升的高度； (2) 依据他们测量的数据求出大树 BC 的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50） 参考答案 1．A 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 解： = ， 故选A． 【点拨】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．C 【分析】根据三角函数的定义，知 ，设 BC = x ， AC =2 x ，根据勾股定理可求得 AB ，再根据三角函数的定义就可以求出 的值． 解： 在△ ABC 中， ， ∵ ， ∴设 BC = x ， AC =2 x ， ， ， 故选：C． 【点拨】 本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边． 3．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点 D 作 于点 E ，依据三角函数值可得 从而得 ，再由 得 AE =2， DE =1，由勾股定理得 AD = ，从而可求出 CD ． 解： 在 中， ， ， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点 D 作 于点 E ，如图， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ , 在 中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点拨】 本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出 DE 的长是解答本题的关键． 4．B 【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：