【几何模型解密】专题21 垂美四边形模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题21 垂美四边形模型 垂美四边形的概念： 对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。 垂美四边形的性质： ① S 垂美四边形A BCD= AC • BD ②A B 2 +DC 2 =AD 2 +BC 2 证明：1） S 垂美四边形A BCD=S △A BC+ S △A DC = AC • BP+ AC • DP= AC •( BP+DP)= AC • BD 结论： 垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。 2 ）∵ A B 2 =AP 2 +BP 2 CD 2 =PD 2 +PC 2 ∴A B 2 +CD 2 = AP 2 +BP 2 +PD 2 +PC 2 ∵ A D 2 =AP 2 +DP 2 BC 2 =BP 2 +PC 2 ∴A D 2 +BC 2 = AP 2 +BP 2 +PD 2 +PC 2 ∴A B 2 +DC 2 =AD 2 +BC 2 [【变形一】 如图，在矩形 ABCD 中， P 为 CD 边上有一点，连接A P 、 BP ， 则D P 、 BP 、 AP 、 CP 之间的关系： DP 2 +BP 2 =AP 2 +PC 2 证明：∵ DP 2 +BP 2 = DP 2 +BC 2 + PC 2 PC 2 +AP 2 = PC 2 + DP 2 +AD 2 而A D=BC ∴ DP 2 +BP 2 =AP 2 +PC 2 [【变形二】 如图，在矩形 ABCD 中， P 为矩形内部任意一点，连接A P 、 BP ，C P ， DP 则A P 、 BP ，C P ， DP 之间的关系： AP 2 +PC 2 =DP 2 +BP 2 证明（思路）： 方法一： 过点P分别作P E ⊥A B 、P F ⊥B C 、P G ⊥ CD 、P H ⊥A D 垂足分别为点 E 、点F、点G、点H 由已知条件可得H F ⊥ EG ∴ HG 2 +EF 2 =EH 2 +FG 2 ( 证明过程略 ) 而A P=EH 、 BP = EF 、C P = FG 、D P = GH ∴ AP 2 +PC 2 =DP 2 +BP 2 方法二： 将 △ A PD 平移至如图所示位置，点A与点B重合，点D与点 C 重合 由平移的性质可得D P=CM ，A P=BM ，D P ∥ CM ，∴四边形D PMC 为平行四边形 ∴ CD ∥ PM 则∠ 1= ∠ 2 而∠ 2+ ∠ 3= 90 ° ∴∠ 1+ ∠ 3= 90 ° 则∠C EP=90 ° ∴ BC ⊥ PM ∴ BM 2 +PC 2 =CM 2 +BP 2 ( 证明过程略 ) ∴ AP 2 +PC 2 =DP 2 +BP 2 【培优过关练】 1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若 ， ， 则 的长为（      ） A．2.5 B．3 C．4 D． 2．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，则四边形 的最大面积是（      ） A．64 B．32 C．16 D．以上都不对 3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， AC 、 BD 是方程 的两个解，则四边形 的面积是（      ） A．60 B．30 C．16 D．32 4．（2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）